《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题15 导数中同构与放缩的应用(解析版)

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专题 15　导数中同构与放缩的应用
同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通
过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混
合式子结构的等式或不等式问题．
当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求
也是比较高的，
考点一　部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）
【方法总结】
在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：
(1)当a＞0且a≠1 时，有 ，(2)当a＞0且a≠1 时，有
再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中 x＞0) (“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹)
(3) ，
(4) ，
(6) ，
再结合常用的切线不等式： ， ， ， 等，可以得到更多的结论
(7) ， ．
， ．
(8) ，
，
(9) ，
，
【例题选讲】
[例1]　(1)已知 ，则函数 的最大值为________．
答案　－2　解析　．(当且仅当 x
＋lnx＋1＝0取等号)．
(2)函数 的最小值是________．
答案　1　解析　(当且仅当 x
＋lnx＝0取等号)．
(3)函数 的最小值是________．
答案　1　解析　(当且仅当 x＋2lnx＝0取
等号)．
[例2]　(1)不等式 恒成立，则实数 a的最大值是________．
答案　1　解析　
，当且仅当 x＋lnx＝0等号成立．
(2)不等式 恒成立，则正数 a的取值范围是________．
答案　 　解析　，当x
＋lnx＋1≤0 时，原不等式恒成立，当 x＋lnx＋1＞0时， ，由于 ，
当且仅当 x＋lnx＝1等号成立，所以 ，故．
(3)不等式 恒成立，则正数 a的取值范围是________．
答案　 　解析　
．
(4)已知函数 ，其中 b＞0，若 恒成立，则实数 a与b的大小
关系是________．
答案　 　解析　，由于
，当且仅当 x＋blnx＝0等号成立，所以 ．
(5)已知函数 ，若 恒成立，则实数 a的取值范围是________．
答案　 　解析　，由于 lnx＋1≤x，ex≥ex，两者都是当且仅当 x＝1
等号成立，则 ，所以 ．
(6)已知不等式 ，对任意的正数 x恒成立，则实数 k的取值范围是________．
答案　 　解析　，由于 ex≥ex，lnex≤x，两者都是当且仅当 x
＝1等号成立，所以 ， 则 ，所以 ．
(7)已知不等式 ，对任意的正数 x恒成立，则实数 a的取值范围是________．
答案　 　解析　，当
且仅当－ax＋lnx＝0，即 时等号成立，由 有解，易得 ．
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