《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题08 函数的极值(解析版)

3.0 envi 2025-03-07 4 4 620.55KB 15 页 3知币

侵权投诉

专题 08　函数的极值

1．函数的极小值：

函数 y＝f(x)在点 x＝x0的函数值 f(x0)比它在点 x＝x0附近其他点的函数值都小，f′(x0)＝0；而且在点 x

＝x0附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0．则 x0叫做函数 y＝f(x)的极小值点，f(x0)叫做函数 y＝f(x)的极小值．

如图 1．

图1　　　　　　　　　　　　　　　　图 2

2．函数的极大值：

函数 y＝f(x)在点 x＝x0的函数值 f(x0)比它在点 x＝x0附近其他点的函数值都大，f′(x0)＝0；而且在点 x

＝x0附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0．则 x0叫做函数 y＝f(x)的极大值点，f(x0)叫做函数 y＝f(x)的极大值．

如图 2．

3．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．

对极值的深层理解：

(1)极值点不是点；

(2)极值是函数的局部性质；

(2)按定义，极值点 xi是区间［a，b］内部的点(如图)，不会是端点 a，b；

(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．

(4)根据函数的极值可知函数的极大值 f(x0)比在点 x0附近的点的函数值都大，在函数的图象上表现为

极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值 f(x0)比在点 x0附近的点的函数值都小，在函数的图象

上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值，在某

一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比

极大值小，极大值不一定比极小值大；

(5)使f′(x)＝0的点称为函数 f(x)的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点，也

可能不是极值点．例如 f(x)＝x3的导数 f′(x)＝3x2在点 x＝0处有 f′(0)＝0，即 x＝0是f(x)＝x3的驻点，但从

f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数可知，x＝0不是 f(x)的极值点．因此若 f′(x0)＝0，则 x0不一定是极值点，即 f′

(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数 y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点；

(6)函数 f(x)在［a，b］上有极值，极值也不一定不唯一．它的极值点的分布是有规律的，如上图，相

邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函

数f(x)在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数 f(x)在［a，b］内的极大值点、极小值点是交替出现

的．

考点一　根据函数图象判断极值

【方法总结】

由图象判断函数 y＝f(x)的极值

(1)y＝f′(x)的图象与 x轴的交点的横坐标为 x0，可得函数 y＝f(x)的可能极值点 x0；

(2)如果在 x0附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，那么 f(x0)是极大值；如果在 x0附近的左侧 f′(x)≤0，右

侧f′(x)≥0，那么 f(x0)是极小值．

【例题选讲】

[例1](1)函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f′(x)的图象如图所示，则函数 f(x)(　　)

A．无极大值点、有四个极小值点　　　　　　　　B．有三个极大值点、一个极小值点

C．有两个极大值点、两个极小值点　　　　　　　D．有四个极大值点、无极小值点

答案　C　解析　设f′(x)的图象与 x轴的 4个交点从左至右依次为 x1，x2，x3，x4．当 x＜x1时，f′(x)＞

0，f(x)为增函数，当 x1＜x＜x2时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，则 x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，

x＝x2，x＝x4为极小值点，故选 C．

(2)设函数 f(x)在R上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一

定成立的是(　　)

A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)　　　　　B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1)

C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2)　　　　D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)

答案　D　解析　由题图可知，当 x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1 时，f′(x)<0；当 1<x<2 时，f′(x)<0；

当x>2 时，f′(x)>0．由此可以得到函数 f(x)在x＝－2处取得极大值，在 x＝2处取得极小值．故选 D．

(3)函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图所示，x1，x2是函数 y＝f(x)的两个极值点，则x＋x等于(

)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

答案　C　解析　因为函数 f(x)的图象过原点，所以 d＝0．又 f(－1)＝0且f(2)＝0，即－1＋b－c＝0

且8＋4b＋2c＝0，解得 b＝－1，c＝－2，所以函数 f(x)＝x3－x2－2x，所以 f′(x)＝3x2－2x－2．由题意知

x1，x2是函数 f(x)的极值点，所以 x1，x2是f′(x)＝0的两个根，所以 x1＋x2＝，x1x2＝－，所以 x＋x＝(x1＋

x2)2－2x1x2＝＋＝，故选 C

(4)已知函数 y＝的图象如图所示(其中 f′(x)是定义域为 R的函数 f(x)的导函数)，则以下说法错误的是(

)

A．f′(1)＝f′(－1)＝0　　　　　　　　　　　　　　B．当 x＝－1时，函数 f(x)取得极大值

C．方程 xf′(x)＝0与f(x)＝0均有三个实数根　　　　D．当 x＝1时，函数 f(x)取得极小值

答案　C　解析　由图象可知 f′(1)＝f′(－1)＝0，A说法正确．当 x<－1时，<0，此时 f′(x)>0；当－

1<x<0 时，>0，此时 f′(x)<0，故当 x＝－1时，函数 f(x)取得极大值，B说法正确．当 0<x<1 时，<0，此时

f′(x)<0；当 x>1 时，>0，此时 f′(x)>0，故当 x＝1时，函数 f(x)取得极小值，D说法正确．故选 C．

(5)(多选)函数 y＝f(x)导函数的图象如图所示，则下列选项正确的有(　　)

A．(－1，3)为函数 y＝f(x)的递增区间　　　　　　B．(3，5)为函数 y＝f(x)的递减区间

C．函数 y＝f(x)在x＝0处取得极大值　　　　　　D．函数 y＝f(x)在x＝5处取得极小值

答案　ABD　解析　由函数 y＝f(x)导函数的图象可知，f(x)的单调递减区间是(－∞，－1)，(3，5)，

单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，所以 f(x)在x＝－1，5取得极小值，在 x＝3取得极大值，C错误．

故选 A、B、D．

(6) (2018·全国Ⅲ)函数 y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题08 函数的极值(解析版).docx

共15页,预览5页

还剩页未读，继续阅读

《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题08 函数的极值(解析版)

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: