《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题06 构造函数法解决导数不等式问题(一)(原卷版)

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专题 06　构造函数法解决导数不等式问题(一)

以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，”等特征式、旨在考查导数运

算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式

出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相

关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．

导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个 f′(x)，则单调性就变的相当隐晦

了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是 f(x)本身的单调性，而是包含 f(x)的

一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是 f′(x)的形式，则我们要构造的

则是一个包含 f(x)的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现 f′(x)，因此解决导数抽象函数不等式

的重中之重是构造函数．

构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思

想．分析近些年的高考，发现构造函数的思想越来越重要，而且很多都用在压轴题 (无论是主观题还是客

观题)的解答上．

构造函数的主要步骤：

(1)分析：分析已知条件，联想函数模型；

(2)构造：构造辅助函数，转化问题本质；

(3)回归：解析所构函数，回归所求问题．

考点一　构造 F(x)＝xnf(x)(n∈Z，且 n≠0)类型的辅助函数

【方法总结】

(1)若F(x)＝xnf(x)，则 F′(x)＝nxn－1f(x)＋xnf′(x)＝xn－1[nf(x)＋xf′(x)]；

(2)若F(x)＝，则 F′(x)＝＝．

由此得到结论：

(1)出现 nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数 F(x)＝xnf(x)；

(2)出现 xf′(x)－nf(x)形式，构造函数 F(x)＝．

【例题选讲】

[例1](1)已知 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足 f(x)＜－xf′(x)，则不等式 f(x＋

1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(　　)

A．(0，1)　　　　　B．(1，＋∞)　　　　　C．(1，2)　　　　　D．(2，＋∞)

答案　D　解析　因为 f(x)<－xf′(x)，所以 f(x)＋xf′(x)<0，即(xf(x))′<0，所以函数 y＝xf(x)在(0，＋∞)

上单调递减．由不等式 f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，可得(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以解得 x>2．选 D．

(2)已知函数 f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为 f′(x)，且满足 xf′(x)＋2f(x)＞0，则

不等式＜的解集为(　　)

A．{x|x＞－2 016}　　B．{x|x＜－2 016}　　C．{x|－2 016＜x＜0}　　D．{x|－2 021＜x＜－2 016}

答案　D　解析　构造函数 g(x)＝x2f(x)，则 g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]．当 x＞0时，∵2f(x)＋xf′(x)＞

0，∴g′(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增．∵不等式＜，∴当x＋2 021＞0，即 x＞－2 021 时，(x＋2

021)2f(x＋2 021)＜52f(5)，即 g(x＋2 021)＜g(5)，∴0<x＋2 021＜5，∴－2 021＜x＜－2 016．

(3)(2015·全国Ⅱ)设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当 x>0 时，xf′(x)－f(x)<0，则使

得f(x)>0 成立的 x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(0，1)　　　　　　　　　B．(－1，0)∪(1，＋∞)　

C．(－∞，－1)∪(－1，0)　　　　　　　　D．(0，1)∪(1，＋∞)

答案　A　解析　设 y＝g(x)＝(x≠0)，则 g′(x)＝，当 x>0 时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，

＋∞)上为减函数，且 g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0．∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴g(x)的图象的示意图

如图所示．当 x>0 时，由 f(x)>0，得 g(x)>0，由图知 0<x<1，当 x<0 时，由 f(x)>0，得 g(x)<0，由图知 x<－

1，∴使得 f(x)>0 成立的 x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选 A．

(4)设f(x)是定义在 R上的偶函数，当 x＜0时，f(x)＋xf′(x)＜0，且 f(－4)＝0，则不等式 xf(x)＞0的解

集为________．

答案　(－∞，－4)∪(0，4)　解析　构造 F(x)＝xf(x)，则 F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当 x＜0时，f(x)＋xf′(x)

＜0，可以推出当 x＜0时，F′(x)＜0，∴F(x)在(－∞，0)上单调递减．∵f(x)为偶函数，x为奇函数，∴F(x)

为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减．根据 f(－4)＝0可得 F(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性

可得函数图象如图所示，根据图象可知 xf(x)＞0的解集为(－∞，－4)∪(0，4)．

(5)已知 f(x)是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为 f′(x)，且不等式 xf′(x)＜2f(x)恒成立，则(　

)

A．4f(1)＜f(2)　　　　B．4f(1)＞f(2)　　　　C．f(1)＜4f(2)　　　　D．f(1)＞4f′(2)

答案　B　解析　令g(x)＝(x＞0)，则 g′(x)＝，由不等式 xf′(x)＜2f(x)恒成立知 g′(x)＜0，即 g(x)在(0，

＋∞)是减函数，∴g(1)＞g(2)，即＞，即 4f(1)＞f(2)，故选 B．

(6)已知定义域为 R的奇函数 y＝f(x)的导函数为 y＝f′(x)，当 x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，若 a＝，b＝，c

＝，则 a，b，c的大小关系正确的是(　　)

A．a＜b＜c　　　　　　B．b＜c＜a

C．a＜c＜b

D．c＜a＜b

答案　D　解析　设g(x)＝，则 g′(x)＝，当 x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则 g′(x)＝＜0，即函数 g(x)在

x∈(0，＋∞)时为减函数．由函数 y＝f(x)为奇函数知 f(－3)＝－f(3)，则 c＝＝．∵a＝＝g(e)，b＝＝g(ln

2)，c＝＝g(3)且3＞e＞ln 2，∴g(3)＜g(e)＜g(ln 2)，即 c＜a＜b，故选 D．

【对点训练】

1．设函数 f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为 f′(x)，且 2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2

021)2f(x

＋2 021)－4f(－2)>0 的解集为(　　)

A．(－∞，－2 021)　　B．(－∞，－2 023)　　C．(－2 023，0)　　D．(－2 021，0)

2．设 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数，f(－2)＝0，当 x＞0时，xf′(x)－f(x)＞0，则使得 f(x)＞0成立的 x

的取值范围是________．

3．已知偶函数 f(x)(x≠0)的导函数为 f′(x)，且满足 f(－1)＝0，当 x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得 f(x)＞0成

立的 x的取值范围是________．

4．设 f(x)是定义在 R上的偶函数，且 f(1)＝0，当 x＜0时，有 xf′(x)－f(x)＞0恒成立，则不等式 f(x)＞0的

解集为________．

5．设 f(x)是定义在 R上的奇函数，f(2)＝0，当 x>0 时，有<0 恒成立，则不等式 x2f(x)>0 的解集

是________________．

6．设 f(x)是定义在 R上的奇函数，且 f(2)＝0，当 x>0 时，<0 恒成立，则不等式>0 的解集

为(　　)

A．(－2，0)∪(2，＋∞)　B．(－2，0)∪(0，2)　C．(－∞，－2)∪(0，2)　D．(－∞，－2)∪(2，＋

∞)

7．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足 xf′(x)－f(x)＜0，对任意正数 a，b，若 a<b，则必有(

)

A．af(b)＜bf(a)　　　　B．bf(a)＜af(b)　　　　C．af(a)＜bf(b)　　　　D．bf(b)＜af(a)

8．设函数 f(x)的导函数为 f′(x)，对任意 x∈R，都有 xf′(x)<f(x)成立，则(　　)

A．3f(2)>2f(3)　　　　B．3f(2)＝2f(3)　　　C．3f(2)<2f(3)　　　　D．3f(2)与2f(3)大小不确定

9．定义在区间(0，＋∞)上的函数 y＝f(x)使不等式 2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立，其中 y＝f′(x)为y＝f(x)的导函

数，则(　　)

A．8<<16　　　　B．4<<8　　　　C．3<<4　　　　D．2<<3

考点二　构造 F(x)＝enxf(x)(n∈Z，且 n≠0)类型的辅助函数

【方法总结】

(1)若F(x)＝enxf(x)，则 F′(x)＝n·enxf(x)＋enxf′(x)＝enx[f′(x)＋nf(x)]；

(2)若F(x)＝，则 F′(x)＝＝．

由此得到结论：

(1)出现 f′(x)＋nf(x)形式，构造函数 F(x)＝enxf(x)；

(2)出现 f′(x)－nf(x)形式，构造函数 F(x)＝．

【例题选讲】

[例1](1)若定义在 R上的函数 f(x)满足 f′(x)＋2f(x)>0，且 f(0)＝1，则不等式 f(x)>的解集为．

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