《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题04 函数的单调性(原卷版)

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专题 04　函数的单调性

函数的单调性与导数的关系

已知函数 f(x)在区间(a，b)上可导，

(1)如果 f′(x)＞0，那么函数 y＝f(x)在(a，b)内单调递增；

(2)如果 f′(x)＜0，那么函数 y＝f(x)在(a，b)内单调递减；

(2)如果 f′(x)＝0，那么函数 y＝f(x)在(a，b)内是常数函数．

注意：1．在某区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．

2．可导函数 f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是∀x∈(a，b)，都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)

上的任何子区间内都不恒为零．

(1)在函数定义域内讨论导数的符号．

(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”．

考点一　不含参数的函数的单调性

【方法总结】

利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数的定义域；

第2步，求出导数 f′(x)的零点；

第3步，用 f′(x)的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f′(x)在各区间上的正负，由此得

出函数 y＝f(x)在定义域内的单调性．

【例题选讲】

[例1](1) 定义在 [－2，2] 上的函数 f(x)与其导函数 f′(x)的图象如图所示，设 O为坐标原点，

A，B，C，D四点的横坐标依次为－，－，1，，则函数 y＝的单调递减区间是(　　)

A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．(1，2)

答案　B　解析　若虚线部分为函数 y＝f(x)的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象(实

线)与x轴有三个交点，不符合题意；若实线部分为函数 y＝f(x)的图象，则该函数有两个极值点，则其导

函数图象(虚线)与x轴恰好也只有两个交点，符合题意．对函数 y＝求导得 y′＝，由 y′<0，得 f′(x)<f(x)，由

图象可知，满足不等式 f′(x)<f(x)的x的取值范围是，因此，函数 y＝的单调递减区间为．故选 B．

(2)已知函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可以是(　　)

答案　C　解析　根据导函数的正负与原函数的单调性的关系，结合导函数 f′(x)的图象可知，原函数

f(x)先单调递增，再单调递减，最后缓慢单调递增，选项 C符合题意，故选 C．

(3)函数 f(x)＝x2＋xsinx的图象大致为(　　)

答案　A　解析　函数 f(x)＝x2＋xsin x的定义域为 R，且 f(－x)＝(－x)2＋(－x)sin(－x)＝x2＋xsin x＝

f(x)，即函数 f(x)为偶函数．当 x＞0时，x＋sinx＞0，故 f′(x)＝x(1＋cosx)＋(x＋sinx)＞0，即 f(x)在(0，＋

∞)上单调递增，故选 A．

(4)函数 f(x)＝x＋2的单调递增区间是________；单调递减区间是________．

答案　(－∞，0)　(0，1)　解析　f(x)的定义域为{x|x≤1}，f′(x)＝1－．令 f′(x)＝0，得 x＝0．当

0<x<1 时，f′(x)<0．当 x<0 时，f′(x)>0．∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，1)．

(5)设函数 f(x)＝x(ex－1)－x2，则 f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．

答案　(－∞，－1)，(0，＋∞)　[－1，0]　解析　∵f(x)＝x(ex－1)－x2，∴f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－

1)(x＋1)．令 f′(x)＝0，得 x＝－1或x＝0．当 x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0．当 x∈[－1，0]时，f′(x)≤0．当

x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0．故 f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在[－1，0]上单调递减．

(6)函数 y＝x2－lnx的单调递减区间为(　　)

A．(－1，1)　　　　B．(0，1)　　　　C．(1，＋∞)　　　　D．(0，＋∞)

答案　B　解析　y＝x2－ln x，y′＝x－＝＝(x>0)．令 y′＜0，得 0<x＜1，∴递减区间为(0，1)．

(7)设函数 f(x)＝2(x2－x)ln x－x2＋2x，则函数 f(x)的单调递减区间为(　　)

A．

B．

C．(1，＋∞)　　　　　D．(0，＋∞)

答案　B　解析　由题意可得 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(2x－1)ln x＋2(x2－x)·－2x＋2＝(4x－

2)ln x．由 f′(x)＜0可得(4x－2)ln x＜0，所以或解得＜x＜1，故函数 f(x)的单调递减区间为，选 B．

(8)已知定义在区间(0，π)上的函数 f(x)＝x＋2cosx，则 f(x)的单调递增区间为．

答案　，　解析　f′(x)＝1－2sin x，x∈(0，π)．令 f′(x)＝0，得 x＝或 x＝，当 0<x<时，f′(x)>0，当<x<

时，f′(x)<0，当<x<π 时，f′(x)>0，∴f(x)在和上单调递增，在上单调递减．

(9)函数 f(x)＝2|sinx|＋cos2x在[－，]上的单调递增区间为(　　)

A．[－，－]和[0，]　　B．[－，0]和[，]　　C．[－，－]和[，]　　D．[－，]

答案　A　解析　由题意，因为 f(－x)＝2|sin(－x)|＋cos(－2x)＝2|sinx|＋cos2x＝f(x)，所以 f(x)为偶函

数，当 0≤x≤时，f(x)＝2sinx＋cos2x，则 f′(x)＝2cosx－2sin2x，令 f′(x)≥0，得 sinx≤，所以 0≤x≤，由 f(x)为偶

函数，可得当－≤x≤0 时，f(x)单调递减，则在[－，－]上单调递增，故选 A．

(10)下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)

A．f(x)＝sin2x　　　　B．f(x)＝xex　　　　C．f(x)＝x3－x

D．f(x)＝－x＋ln x

答案　B　解析　对于 A，f(x)＝sin 2x的单调递增区间是(k∈Z)；对于 B，f′(x)＝ex(x＋1)，当 x∈(0，

＋∞)时，f′(x)>0，∴函数 f(x)＝xex在(0，＋∞)上为增函数；对于 C，f′(x)＝3x2－1，令 f′(x)>0，得 x>或x<

－，∴函数 f(x)＝x3－x在和上单调递增；对于 D，f′(x)＝－1＋＝－，令 f′(x)>0，得 0<x<1，∴函数 f(x)＝

－x＋ln x在区间(0，1)上单调递增．故选 B．

[例2]　已知函数 f(x)＝(k为常数)，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 x轴平行．

(1)求实数 k的值；

(2)求函数 f(x)的单调区间．

解析　(1)f′(x)＝(x＞0)．又由题意知 f′(1)＝＝0，所以 k＝1．

(2)由(1)知，f′(x)＝(x＞0)．设 h(x)＝－ln x－1(x＞0)，则 h′(x)＝－－＜0，

所以 h(x)在(0，＋∞)上单调递减．由 h(1)＝0知，当 0＜x＜1时，h(x)＞0，所以 f′(x)＞0；

当x＞1时，h(x)＜0，所以 f′(x)＜0．

综上，f(x)的单调增区间是(0，1)，单调减区间为(1，＋∞)．

【对点训练】

1．如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)

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