《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题02 曲线的切线方程(解析版)

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专题 02　曲线的切线方程

考点一　求切线的方程

【方法总结】

求曲线切线方程的步骤

(1)求曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程的步骤

第一步，求出函数 y＝f(x)在点 x＝x0处的导数值 f′(x0)，即曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处切线的斜率；

第二步，由点斜式方程求得切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．

(2)求曲线过点 P(x0，y0)的切线方程的步骤

第一步，设出切点坐标 P′(x1，f(x1))；

第二步，写出过 P′(x1，f(x1))的切线方程为 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；

第三步，将点 P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出 x1；

第四步，将 x1的值代入方程 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点 P(x0，y0)的切线方程．

注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点 P处的切线方程和求曲线过点 P的

切线方程，在点 P处的切线，一定是以点 P为切点，过点 P的切线，不论点 P在不在曲线上，点 P不一

定是切点．

【例题选讲】

[例1](1) (2021·全国甲)曲线 y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________．

答案　5x－y＋2＝0　解析　y′＝′＝＝，所以 y′|x＝－1＝＝5，所以切线方程为 y＋3＝5(x＋1)，即 5x－y

＋2＝0．

(2) (2020·全国Ⅰ)函数 f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)

A．y＝－2x－1　　　　B．y＝－2x＋1　　　　C．y＝2x－3　　　　D．y＝2x＋1

答案　B　解析　f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f′(x)＝4x3－6x2，所以切线的斜率为 k＝f′(1)

＝4×13－6×12＝－2，切线方程为 y＋1＝－2(x－1)，即 y＝－2x＋1．

(3) (2018·全国Ⅰ)设函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若 f(x)为奇函数，则曲线 y＝f(x)在点(0，0)处的切线

方程为(　　)

A．y＝－2x

B．y＝－x

C．y＝2x

D．y＝x

答案　D　解析　法一　因为函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3

＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以 2(a－1)x2＝0．因为 x∈R，所以 a＝1，所以 f(x)＝x3

＋x，所以 f′(x)＝3x2＋1，所以 f′(0)＝1，所以曲线 y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为 y＝x．故选 D．

法二　因为函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，所以 f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－

1＋a)＝0，解得 a＝1，此时 f(x)＝x3＋x(经检验，f(x)为奇函数)，所以 f′(x)＝3x2＋1，所以 f′(0)＝1，所以曲

线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为 y＝x．故选 D．

法三　易知 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为 f(x)为奇函数，所以函数 g(x)＝x2＋(a－

1)x＋a为偶函数，所以 a－1＝0，解得 a＝1，所以 f(x)＝x3＋x，所以 f′(x)＝3x2＋1，所以 f′(0)＝1，所以曲

线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为 y＝x．故选 D．

(4) (2020·全国Ⅰ)曲线 y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为________．

答案　2x－y＝0　解析　设切点坐标为(x0，y0)，因为 y＝ln x＋x＋1，所以 y′＝＋1，所以切线的斜率

为＋1＝2，解得 x0＝1．所以 y0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，所以切线方程为 y－2＝2(x－1)，

即2x－y＝0．

(5) 已知函数 f(x)＝xlnx，若直线 l过点(0 ，－ 1) ，并且与曲线 y＝f(x)相切，则直线 l的方程为

．

答案　x－y－1＝0　解析　∵点(0，－1)不在曲线 f(x)＝xln x上，∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋

ln x，∴直线 l的方程为 y＋1＝(1＋ln x0)x．∴由解得 x0＝1，y0＝0．∴直线 l的方程为 y＝x－1，即 x－y－

1＝0．

(6) (2021·新高考Ⅰ)若过点(a，b)可以作曲线 y＝ex的两条切线，则(　　)

A．eb<a

B．ea<b

C．0<a<eb 　　　　　　D．0<b<ea

答案　D　解析　根据 y＝ex图象特征，y＝ex是下凸函数，又过点(a，b)可以作曲线 y＝ex的两条切线，

则点(a，b)在曲线 y＝ex的下方且在 x轴的上方，得 0<b<ea．故选 D．

(7)已知曲线 f(x)＝x3－x＋3在点 P处的切线与直线 x＋2y－1＝0垂直，则 P点的坐标为(　　)

A．(1，3)　　　　B．(－1，3)　　　　C．(1，3)或(－1，3)　　　　D．(1，－3)

答案　C　解析　设切点 P(x0，y0)，f′(x)＝3x2－1，又直线 x＋2y－1＝0的斜率为－，∴f′(x0)＝3x－1

＝2，∴x＝1，∴x0＝±1，又切点 P(x0，y0)在y＝f(x)上，∴y0＝x－x0＋3，∴当x0＝1时，y0＝3；当 x0＝－

1时，y0＝3．∴切点 P为(1，3)或(－1，3)．

(8) (2019·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A在曲线 y＝lnx上，且该曲线在点 A处的切线经过点(－

e，－1)(e 为自然对数的底数)，则点 A的坐标是________．

答案　(e，1)　解析　设 A(m，n)，则曲线 y＝ln x在点 A处的切线方程为 y－n＝(x－m)．又切线过点

(－e，－1)，所以有 n＋1＝(m＋e)．再由 n＝ln m，解得 m＝e，n＝1．故点 A的坐标为(e，1)．

(9)设函数 f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若 f(x)为奇函数，且函数 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线与直线 x

＋y＝0垂直，则切点 P(x0，f(x0))的坐标为．

答案　(0，0)　解析　∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a．又 f(x)为奇函数，∴f(－

x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax 恒成立，∴a＝1，f′(x)＝3x2＋1，3x＋1＝

1，x0＝0，f(x0)＝0，∴切点 P(x0，f(x0))的坐标为(0，0)．

(10)函数 y＝在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．1

答案　B　解析　∵y＝，∴y′＝＝，∴k＝y′|x＝0＝2，∴切线方程为 y＋1＝2(x－0)，即 y＝2x－1，令 x

＝0，得 y＝－1；令 y＝0，得 x＝，故所求的面积为×1×＝．

(11)曲线 y＝x2－lnx上的点到直线 x－y－2＝0的最短距离是．

答案　　解析　设曲线在点 P(x0，y0)(x0>0) 处的切线与直线 x－y－2＝0平行，则＝

＝2x0－＝1．∴x0＝1，y0＝1，则 P(1，1)，则曲线 y＝x2－ln x上的点到直线 x－y－2＝0的最

短距离 d＝＝．

【对点训练】

1．设点 P是曲线 y＝x3－x＋上的任意一点，则曲线在点 P处切线的倾斜角 α的取值范围为(　　)

A．∪　　　B．　　　C．∪　　　D．

1．答案　C　解析　y′＝3x2－，∴y′≥－，∴tan α≥－，又 α∈[0，π)，故 α∈∪，故

选C．

2．函数 f(x)＝ex＋在 x＝1处的切线方程为．

2．答案　y＝(e－1)x＋2　解析　f′(x)＝ex－，∴f′(1)＝e－1，又 f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切

线斜率 k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为 y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即 y＝(e－1)x＋2．

3．(2019·全国Ⅰ)曲线 y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．

3．答案　y＝3x　解析　y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3ex(x2＋3x＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率

k＝e0×3＝3，所以所求切线方程为 y＝3x．

4．曲线 f(x)＝在点 P(1，f(1))处的切线 l的方程为(　　)

A．x＋y－2＝0　　B．2x＋y－3＝0　　C．3x＋y＋2＝0　　D．3x＋y－4＝0

4．答案　D　解析　因为 f(x)＝，所以 f′(x)＝．又 f(1)＝1，且 f′(1)＝－3，故所求切线方

程为 y－1＝－3(x－1)，即 3x＋y－4＝0．

5．(2019·全国Ⅱ)曲线 y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　　)

A．x－y－π－1＝0 　　　　　　　　　　　　　　B．2x－y－2π－1＝0

C．2x＋y－2π＋1＝0　　　　　　　　　　　　　　D．x＋y－π＋1＝0

5．答案　C　解析　设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则 f′(x)＝2cos x－sin x，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)

处的切线方程为 y－(－1)＝－2(x－π)，即 2x＋y－2π＋1＝0．故选 C．

6．(2019·天津)曲线 y＝cos x－在点(0，1)处的切线方程为________．

6．答案　y＝－x＋1　解析　y′＝－sin x－，将 x＝0代入，可得切线斜率为－．所以切线方程为 y－1

＝－x，即 y＝－x＋1．

7．已知 f(x)＝x为奇函数(其中 e是自然对数的底数)，则曲线 y＝f(x)在x＝0处的切线方程为．

7．答案　2x－y＝0　解析　∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＋f(1)＝0，即 e＋－－ae＝0，解得 a＝1，f(x)＝

x，∴f′(x)＝＋x，∴曲线 y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为 2，又 f(0)＝0，∴曲线 y＝f(x)在x＝0处的切

线的方程为 2x－y＝0．

8．已知曲线 y＝x3上一点 P，则过点 P的切线方程为________．

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