《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题01 导数的运算(原卷版)

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专题 01　导数的运算
1．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0 且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝exf′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0 且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
2．导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有[cf(x)]′＝cf′(x)；[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；′＝
(g(x)≠0)；
3．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数 y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量 u，y可以表示成 x的函数，那么称这
个函数为函数 y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x))．
(2)复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y′x＝y′u·u′x，即 y对x的导数等
于y对u的导数与 u对x的导数的乘积．
【方法总结】
导数运算的原则和方法
基本原则：先化简、再求导；
具体方法：
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；
(6)复合函数：由外向内，层层求导．
【例题选讲】
[例1]　求下列函数的导数：
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝；
(3)y＝xsincos；
(4)y＝ln(2x－5)．
解析　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x．
(2)y′＝′＝＝－．
(3)∵y＝xsincos＝xsin(4x＋π)＝－xsin4x，
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x＝－sin 4x－2xcos 4x．
(4)令u＝2x－5，y＝ln u．则 y′＝(ln u)′u′＝·2＝，即y′＝．
[例2]　(1) (2020·全国Ⅲ)设函数 f(x)＝．若 f′(1)＝，则 a＝________．
答案　1　解析　f′(x)＝＝，则 f′(1)＝＝，整理可得 a2－2a＋1＝0，解得 a＝1．
(2)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，则 f(1)＝ ．
答案　－　解析　∵f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝4x－3f′(1)＋，将 x＝1代入，得 f′(1)＝4－3f′(1)
＋1，得 f′(1)＝．∴f(x)＝2x2－x＋ln x，∴f(1)＝2－＝－．
(3)已知 f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即 f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′
(x)，n∈N*，则 f2 022(x)等于(　　)
A．－sin x－cos x
　　　　
B．sin x－cos x
　　　　
C．－sin x＋cos x
　　　　
D．sin x＋cos x
答案　C　解析　∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，f4(x)
＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，∴fn(x)的解析式以 4为周期重复出现，∵2 022＝4×505
＋2，∴f2 022(x)＝f2(x)＝cos x－sin x．故选 C．
(4)(多选)给出定义：若函数 f(x)在D上可导，即 f′(x)存在，且导函数 f′(x)在D上也可导，则称 f(x)在D
上存在二阶导函数，记 f″(x)＝(f′(x))′，若 f″(x)＜0在D上恒成立，则称 f(x)在D上为凸函数．以下四个函
数在上是凸函数的是(　　)
A．f(x)＝sin x＋cos x
　　　
B．f(x)＝ln x－2x
　　　
C．f(x)＝x3＋2x－1　　　D．f(x)＝xex
答案　AB　解析　对于 A：f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x，∵x∈，∴f″(x)＜0，f(x)在上是
凸函数，故 A正确．对于 B：f′(x)＝－2，f″(x)＝－＜0，故 f(x)在上是凸函数，故 B正确；对于 C：f′(x)＝
3x2＋2，f″(x)＝6x＞0，故 f(x)在上不是凸函数，故 C错误；对于 D：f′(x)＝(x＋1)ex，f″(x)＝(x＋2)ex＞0，
故f(x)在上不是凸函数，故 D错误．故选 AB．
(5)已知 f(x)的导函数为 f′(x)，若满足 xf′(x)－f(x)＝x2＋x，且 f(1)≥1，则 f(x)的解析式可能是(　　)
A．x2－xln x＋x
　　　　
B．x2－xln x－x
　　　　
C．x2＋xln x＋x
　　　　
D．x2＋2xln x＋x
答案　C　解析　由选项知 f(x)的定义域为(0，＋∞)，由题意得＝1＋，即′＝1＋，故＝x＋ln x＋c(c为
待定常数)，即 f(x)＝x2＋(ln x＋c)x．又 f(1)≥1，则 c≥0，故选 C．
【对点训练】
1．下列求导运算正确的是(　　)
A．′＝1＋　　B．(log2x)′＝　　C．(5x)′＝5xlog5x
　　
D．(x2cos x)′＝－2xsin x
2．函数 y＝xcos x－sin x的导数为(　　)
A．xsin x　　　　　　　B．－xsin x
　　　　　　　
C．xcos x
　　　　　　　
D．－xcos x
3．(多选)下列求导运算正确的是(　　)
A．(sin a)′＝cos a(a为常数)　　　　　　　　B．(sin 2x)′＝2cos 2x
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