《2022年高考数学一轮复习配套练习（新高考地区专用）》9.6 三定问题及最值问题（提升）（解析版）
9.6 三定问题及最值问题（提升）
1．（2021·上海黄浦·格致中学高三月考）已知点 是平面直角坐标系上的一个动点，点 到直
线 的距离等于点 到点 的距离的 2 倍，记动点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）斜率为 的直线 与曲线 交于 两个不同点，若直线 不过点 ，设直线 的斜率分
别为 ，求 的数值；
（3）设点 为曲线 的上顶点，点 是椭圆 上异于点 的任意两点，若直线 与 的斜率的乘积
为常数 ，试判断直线 是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理
由．
【答案】（1） ；（2）0；（3）经过定点，定点坐标 ．
【解析】（1）因为点 是平面直角坐标系上的一个动点，点 到直线 的距离等于点 到点
的距离的 2 倍，所以 ，化简得曲线 C 的方程为： ；
（2）因为直线 的斜率为 ，且直线 不过点 ，所以设直线
l
的方程为： ，联立方
程组 ，得 ，
又交点为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ；
（3）由（1）得 ，由题意，直线的斜率存在，
设直线
PQ
的方程为 ，
联立方程组 ，得 ，
设 ，所以 ，
则
，
所以 ，
所以直线经过定点，定点坐标 ．
2．（2021·吉林净月高新技术产业开发区·东北师大附中高三月考（理））椭圆
与抛物线 有一个公共焦点且经过点 .
（1）求椭圆 的方程及其离心率；
（2）直线 与椭圆 相交于 ， 两点， 为原点，是否存在点 满足 ，
，若存在，求出 的取值范围，若不存在，请说明理由
【答案】（1） ， ；（2）存在， 或 .
【解析】（1）由题意，抛物线的标准方程为 ，
∴抛物线焦点坐标为
即在椭圆中 ， ，
将点 代入曲线 的方程，
得
由 得 ，
， ，
则椭圆 的方程为
则椭圆的离心率
（2）存在符合要求的点 .
直线 与椭圆 相交于 ， 两点，
联立方程 ，整理得
设 ， 两点坐标为 ， ，
则 ，
，
得
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