《2022年高考数学一轮复习配套练习（新高考地区专用）》9.6 三定问题及最值问题（基础）（解析版）

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9.6 三定及最值问题（基础）
一、解答题
1．（2021·黑龙江大庆中学高三月考（文））已知椭圆 过点 ，且离心率为
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 作斜率分别为 的两条直线，分别交椭圆于点 ，且 ，证明：直线 过定点.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】（1） 椭圆 过点 ，即 ， ；
，又 ， ，
椭圆 的方程为： .
（2）当直线 斜率不存在时，设直线方程为 ，则 ，
则 ， ，解得： ，
直线方程为 ；
当直线 斜率存在时，设直线方程为 ，
联立方程组 得： ，
设 ，则 ， （*），
则 ，
将*式代入化简可得： ，即 ，整理得： ，
代入直线 方程得： ，
即 ，联立方程组 ，解得： ， ，
直线 恒过定点 ；
综上所述：直线 恒过定点 .
2．（2021·黑龙江哈尔滨·哈师大附中高三月考（理））已知 ， 分别是椭圆
的左，右焦点， ，当 在 上且 垂直 轴时， .
（Ⅰ）求 的标准方程；
（Ⅱ）
A
为 的左顶点， 为 的上顶点， 是 上第四象限内一点， 与 轴交于点 ， 与 轴
交于点 .求证：四边形 的面积是定值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】（Ⅰ）由题意知 ， ， ，则 ，
得 ，又 ， ，解得 ，
所以
E
的标准方程是 ；
（Ⅱ）由题意知 ， ，设 ， ， ，
因为
A
， ，
M
三点共线，则 ，解得 ，
B
， ，
M
三点共线，则 ，解得 ，
， ， ，
.
所以四边形 的面积 .
所以四边形 的面积是定值.
3．（2021·南京市中华中学高三月考）在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
C
的中心为坐标原点
O
，焦点
在
x
轴上，右顶点
A
(2，0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为 .
(1)求椭圆
C
的标准方程；
(2)若
M
，
N
是椭圆
C
上关于
x
轴对称的任意两点，设
P
(-4，0)，连接
PM
交椭圆
C
于另一点
E
.求证：直线
NE
过定点
B
，并求出点
B
的坐标.
【答案】(1) ；(2)证明见解析，定点
B
(-1，0).
【解析】(1)设椭圆
C
的标准方程为： (
a
>
b
>0)，焦距为 2
c
，
由题意得，
a
=2，
由 = ，可得
c
=1，
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