《2022年高考数学一轮复习配套练习（新高考地区专用）》9.4 双曲线（提升）（解析版）

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9.4 双曲线（提升）
一、单选题
1．（2021·天津市第七中学高三月考）已知
Q
为双曲线 ( ， )的右顶点，
M
为双曲线
右支上一点，若点
M
关于双曲线中心
O
的对称点为
N
，设直线
QM，QN
的倾斜角分别为 ， 且
，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，设 ，则 ，又 ，即直线
QM，QN
的斜率乘积为 ，而
Q
(
a
，0)，
于是得 ，又
M
为双曲线右支上一点，即 ， ，
因此， ，化简得 ，则 ，
所以双曲线的离心率为 .
故选：B
2．（2021·全国高三专题练习）已知双曲线 （ ， ）的离心率为 2，
F
1，
F
2分别是双曲
线的左、右焦点，点 ， ，点
P
为线段
MN
上的动点，当 取得最小值和最大值时，
△
PF
1
F
2的面积分别为
S
1，
S
2，则 （ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】B
【解析】由于双曲线的离心率为 ，故 .
所以直线 的方程为 ，
设 ， ，
焦点坐标为 ，
则 ，
则
，
由于 ，故当 时取得最小值，
此时 ；
当 时取得最大值，此时 .
则 .
故选：B.
3．（2021·全国高三专题练习）已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过点
的直线交双曲线 的右支于 ， 两点，且 ．过双曲线 的右顶点作平行于双曲线 的
一条渐近线的直线 ，若直线 交线段 于点 ，且 ，则双曲线 的离心率 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
取 为 中点，
是以 为顶点的等腰三角形
所以 ，
因为 ，所以 是线段 的中点．
又直线 过双曲线 的右顶点且平行于双曲线 的一条渐近线，
由于 ，代入双曲线方程可得， ，
，右顶点坐标为
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