《2022年高考数学一轮复习配套练习（新高考地区专用）》8.8 分布列与其他知识综合运用（提升）（原卷版）

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8.8 分布列与其他知识综合运用（提升）

1．（2021·全国高三专题练习（理））为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第

一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选

择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为

，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．

（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；

（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为．

（i）证明：为等比数列；

（ii）证明：当时，．

2．（2021·江苏昆山·周市高级中学）学校趣味运动会上设置了一项射击比赛，比赛规则如下：选手先

向靶射击 2 次，每击中靶中阴影部分一次记 1 分，未击中记 0 分，2 次射击总得分为，若，直接

结束比赛；若，再向靶射击 2 次，2 次都击中靶中阴影部分记 1 分，只中 1 次记 0 分，2 次都没中记

分，比赛结束；若，再向靶射击 2 次，每击中靶中阴影部分一次记 1 分，未击中记 0 分，比赛

结束（其中靶两圆半径比为 1：2，靶阴影部分是大正方形的四边中点连接而成的小正方形，靶阴影

部分是大正三角形三边中点连接而成的小正三角形）．若甲同学参加比赛，赛前甲同学不脱靶的概率为

，为了让参赛者适应射击环境，赛前有 5 次试射机会，经过试射后甲每次射击都不脱靶，击中靶

中任意位置可能性相等，各次射击相互独立．

（1）设甲在赛前 5 次试射中仅在第 3 次脱靶的概率为，当取最大值时，求的值；

（2）求甲同学获得的总分的分布列及数学期望．

3（2021·池州市第一中学高三模拟预测（理））某科技企业投资 2 亿元生产一种供 5

智能手机使用的芯

片，该芯片因生产原因其性能存在着一定的差异，该企业为掌握芯片的性能情况，从所生产的芯片中随机

抽取了 200 片进行了性能测试，得到其性能指标值的频数分布表如下所示(同一组数据用该组数据的区间中

点值作代表).

性能指标值/分

频数 20 30 40 60 30 20

利用样本估计总体的思想，解决下列问题：

（1）估计该科技企业所生产的芯片性能指标值的平均数；

（2）每块芯片的性能等级和纯利润(单位：元/片， )如下表所示：

性能指标值

等级次品级级级

纯利润

（i）从该科技企业所生产的芯片中随机抽取 3 片芯片，试求至少有 2 片芯片为级或级芯片的概率；

（ii）若该科技企业该芯片的年产量为 200 万片，其中次品直接报废处理，其他芯片全部能被手机厂商收

购，问：该企业两年之内是否有可能收回总投资？试说明理由.参考数据： .

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