《2022年高考数学一轮复习配套练习（新高考地区专用）》8.8 分布列与其他知识综合运用（提升）（解析版）

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8.8 分布列与其他知识综合运用（提升）
1．（2021·全国高三专题练习（理））为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第
一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选
择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为 ，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为
，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为 ，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第 天选择米饭套餐的概率为 ．
（i）证明： 为等比数列；
（ii）证明：当 时， ．
【答案】（1） ；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】（1）设 “第 天选择米饭套餐”， “第 天选择米饭套餐”，
则 “第 天不选择米饭套餐”．
根据题意 ， ， ， ．
由全概率公式，得 ．
（2）（i）设 “第 天选择米饭套餐”，则 ， ，
根据题意 ， ．
由全概率公式，得 ．
因此 ．
因为 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（ii）由（i）可得 ．
当 为大于 的奇数时， ．
当 为正偶数时， ．
因此 当时， ．
2．（2021·江苏昆山·周市高级中学）学校趣味运动会上设置了一项射击比赛，比赛规则如下：选手先
向 靶射击 2 次，每击中靶中阴影部分一次记 1 分，未击中记 0 分，2 次射击总得分为 ，若 ，直接
结束比赛；若 ，再向 靶射击 2 次，2 次都击中靶中阴影部分记 1 分，只中 1 次记 0 分，2 次都没中记
分，比赛结束；若 ，再向 靶射击 2 次，每击中靶中阴影部分一次记 1 分，未击中记 0 分，比赛
结束（其中 靶两圆半径比为 1：2， 靶阴影部分是大正方形的四边中点连接而成的小正方形， 靶阴影
部分是大正三角形三边中点连接而成的小正三角形）．若甲同学参加比赛，赛前甲同学不脱靶的概率为
，为了让参赛者适应射击环境，赛前有 5 次试射机会，经过试射后甲每次射击都不脱靶，击中靶
中任意位置可能性相等，各次射击相互独立．
（1）设甲在赛前 5 次试射中仅在第 3 次脱靶的概率为 ，当 取最大值时，求 的值；
（2）求甲同学获得的总分 的分布列及数学期望．
【答案】（1） ；（2）分布列见详解， .
【解析】（1）由题意可得
所以
所以当 时， ， 单调递增
当 时， ， 单调递减
所以当 时 取得最大值
（2）由图可得，每次击中 靶阴影部分的概率为
每次击中 靶阴影部分的概率为
每次击中 靶阴影部分的概率为
的可能取值有
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
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