《2022年高考数学一轮复习配套练习（新高考地区专用）》8.7 均值与方差在生活中的运用（提升）（原卷版）

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8.7 均值与方差在生活中的运用（提升）

1．（2021·江苏海安·高三开学考试）有 9 个外观相同的同规格砝码，其中 1 个由于生产瑕疵导致质量略

有减少，小明想通过托盘天平称量出这个有瑕疵的砝码，设计了如下两种方案：

方案一：每次从待称量的砝码中随机选 2 个，按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上，若天平平衡，

则选出的 2 个砝码是没有瑕疵的；否则，有瑕疵砝的砝码在下降一侧．按此方法，直到找出有瑕疵的砝码

为止．

方案二：从待称量的砝码中随机选 8 个，按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上，若天平平衡，则未

被选出的那个砝码是有瑕疵的；否则，有瑕疵的砝码在下降一侧，每次再将该侧砝码按个数平分，分别放

在天平的左、右托盘上，…，直到找出有瑕疵的砝码为止．

（1）记方案一的称量次数为随机变量

，求

的概率分布；

（2）上述两种方案中，小明应选择何种方案可使称量次数的期望较小？并说明理由．

2．（2021·重庆市秀山高级中学校高三月考）某工厂生产一种精密仪器，由第一、第二和第三工序加工

而成，三道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有两个等级．三道工序的加工结果直接

决定该仪器的产品等级：三道工序的加工结果均为级时，产品为一等品；第三工序的加工结果为级，

且第一、第二工序至少有一道工序加工结果为级时，产品为二等品；其余均为三等品．每一道工序加工

结果为级的概率如表一所示，一件产品的利润（单位：万元）如表二所示：

表一

工序第一工序第二工序第三工序

概率

表二

等级一等品二等品三等品

利润 23 8 5

（1）用表示一件产品的利润，求的分布列和数学期望；

（2）因第一工序加工结果为级的概率较低，工厂计划通过增加检测成本对第一工序进行改良，假如改

良过程中，每件产品检测成本增加万元（即每件产品利润相应减少万元）时，第一工序加工

结果为级的概率增加．问该改良方案对一件产品利润的期望是否会产生影响？并说明理由．

3．（2021·全国高三模拟预测）2020 年抗击新冠肺炎武汉封城期间，某公司的产品因符合抗疫要求（全

部用统一规格的包装箱包装且有物流配送支持）能继续直销武汉．为了把握准确的需求信息，他们使用大

数据统计了武汉 2019 年末近 100 天内每天此产品的售货量（单位：箱）如下表所示：

售货量

（箱）

天数 5 20 30 30 10 5

统计分析发现服从正态分布．

（1）画出售货量的频率分布直方图，并求出的值．

（2）估计该公司一个月（30 天）内售货量在区间内的天数（结果保留整数）．

（3）为鼓励分销商，该公司出台了两种不同的促销方案．

方案一：直接返现，按每日售货量三级返现：时，返现 400 元；时，返现 800 元；

时，返现 1200 元．

方案二：通过抽奖返现：每日售货量低于时有一次抽奖机会；每日售货量不低于时有两次抽奖机会．

每次抽奖获得奖金 40O元的概率为，获得奖金 800 元的概率为．

据你分析，分销商应采用哪种方案？请说明理由．

附：若，则，．

4．（2021·广东龙岗·横岗高中）2020 年底，因疫情影响，在上海打工的张某响应国家的号召，决定就

地过年，他购买了四件礼物，重量分别为 1.1kg，2.8kg，3.3kg 和6.7kg.张某欲将四件礼物随机分成两份，

每份两件，寄给远在安徽老家的父母和孩子.已知某快递公司的收费标准为：首重 9 元，续重 4元/kg(注：

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