《2022年高考数学一轮复习配套练习（新高考地区专用）》8.7 均值与方差在生活中的运用（基础）（解析版）

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8.7 均值与方差在生活中的运用（基础）
1．（2021·贵州高三一模（理））2020 年遵义市高中生诗词大赛如期举行，甲、乙两校进入最后决赛的
第一环节．现从全市高中老师中聘请专家设计了第一环节的比赛方案：甲、乙两校从 6 道不同的题目中随
机抽取 3 道分别作答，已知这 6 个问题中，甲校选手只能正确作答其中的 4 道，乙校选手正确作答每道题
目的概率均为 ，甲、乙两校对每道题的作答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲、乙两校总共正确作答 2 道题目的概率；
（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两校哪所学校获得第一环节胜利的可能性更大？
【答案】（1） ；（2）甲校获得第一环节胜利可能性更大.
【解析】（1）由题意可知，甲、乙共答对两道题的可能有，
甲校 1 道乙校 1 道；甲校 2 道乙校 0 道，所求概率
.
（2）设甲校正确作答的题数为
X
，则
X
的取值分别为 1，2，3，
， ， ，
则
X
的分布列为：
X
1 2 3
P
∴ ，
，
设乙校正确作答的题数为
Y
，则
Y
取值分别为 0，1，2，3，
， ， ， ，
则
Y
的分布列为：
Y
0 1 2 3
P
∴ ．（或∵ ，∴ ）
（或 ），
由 ， 可得，甲校获得第一环节胜利可能性更大.
2．（2021·河北沧州·）在我国， 月 日的月日数恰好与火警电话号码 相同，而且这一天前后，正
值风干物燥、火灾多发之际，全国各地都在紧锣密鼓地开展冬季防火工作，为增加全民的消防安全意识，
于 年发起，公安部将每年的 月 日定为全国的“消防日”．为切实提高中学生消防安全知识，增强
火灾的应对能力，某市特举办以“消防安全进万家，平安相伴你我他”为主题的知识竞赛，甲、乙同学将
代表学校参加．为取得好成绩，二人在消防知识题库中各随机选取 题练习，每题答对得 分，答错得
分，练习结果甲得 分，乙得 分．若以二人练习中答题正确的频率作为竞赛答题正确的概率，回答
下列问题．
竞赛第一环节，要求甲乙二人各选两题做答，每题答对得 分，答错不得分，求甲乙二人得分和的概率
分布列和期望；
第二环节中，要求二人自选两道题或四道题做答，要求一半及一半以上正确才能过关，那么甲乙二人
怎样选择，各自过关的可能性较大．
【答案】 分布列见解析，数学期望为 ； 甲选 道题，乙选 道题．
【解析】 由已知得，甲答题的正确率为 ，乙答题的正确率为 ，
设甲乙二人得分和的随机变量为 ，则 的可能取值为 ， ， ， ， .
则
的分布列为
甲选 题，过关率为
甲选 题时，过关率为
甲选 道题
乙选 题，过关率为
乙选 题，过关率为
乙选 道题.
3．（2021·广东罗湖·深圳第三高中高三月考）某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三
步篮两个项目.每个学生在每个项目投篮 5 次，以规范动作投中 3 次为考核合格，定点投篮考核合格得 4 分，
否则得 0 分；三步篮考核合格得 6 分，否则得 0 分.现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一
组先进行三步篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考
核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核.已知小明定点投
篮考核合格的概率为 0.8，三步篮考核合格的概率为 0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.
（1）若小明先进行定点投篮考核，记为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由.
【答案】（1）分布列答案见解析；（2）小明应选择先进行定点投篮考核，理由见解析.
【解析】解：（1）由已知可得， 的所有可能取值为 0，4，10，
则 ，
，
，
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