《2022年高考数学一轮复习配套练习（新高考地区专用）》7.6 空间向量求空间距离（基础）（解析版）

3.0 envi 2025-03-09 4 4 2.17MB 37 页 3知币
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7.6 空间向量求空间距离（基础）
一、解答题
1．（2021·浙江高三专题练习）在正四棱柱 中， ， 为 的中点.
（1）求直线 与平面 所成的角；
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，化为 ，
令 ，解得 ， ．
．
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
因为
直线 与平面 所成的角为 ．
（2）设平面 的法向量 ， ， ，
则 ， ，令 ，解得 ， ．
．
点 到平面 的距离 ．
2．（2021·上海徐汇·高三）如图，在直三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1中，
BA
⊥
BC
，
BA
＝
BC
＝
BB
1＝2．
（1）求异面直线
AB
1与
A
1
C
1所成角的大小；
（2）若
M
是棱
BC
的中点．求点
M
到平面
A
1
B
1
C
的距离．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】解：（1）由于
A
1
C
1
AC
，所以∠
CAB
1（或其补角）即为异面直线
AB
1与
A
1
C
1所成角，
连接
CB
1，在
AB
1
C
中，由于 ，所以
AB
1
C
是等边三角形，
所以 ，所以异面直线
AB
1与
A
1
C
1所成角的大小为 ．
（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为
C
（0，0，2）、
B
1（0，2，0）、
A
1（2，2，0）、
M
（0，0，1）．
设平面
A
1
B
1
C
的法向量为 ，则 ．
∵ ， ，
且 ，
∴ ，取
v
＝1，
得平面
A
1
B
1
C
的一个法向量为 ， 且 ，
又∵ ，
于是点
M
到平面
A
1
B
1
C
的距离
所以，点
M
到平面
A
1
B
1
C
的距离等于 ．
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