《2022年高考数学一轮复习配套练习（新高考地区专用）》7.3 空间几何体积及表面积（提升）（解析版）
7.3 空间几何体积及表面积（提升）
一、单选题
1．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学）在棱长为 2 的正方体 中，点 ， ， ， 分别为
棱 ， ， ， 的中点，若平面 平面 ，且平面 与棱 ， ， 分别交于点 ，
， ，其中点 是棱 的中点，则三棱锥 的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，取 的中点 ，连接 ，
由正方体结构特点可知： ，
所以 六点共面，
又因为平面 平面 ，所以平面 平面 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，由 为所在边中点可知 为 中点，
同理可知： 为 的中点，
所以 ，且 ， ， 两两垂直，
所以三棱锥 的体积为 ，
故选：D.
2．（2021·河南驻马店市·高三月考（理））三棱锥 的各个顶点都在球 的表面上，且 是
等边三角形， 底面 ， ， .若点 在线段 上，且 ，则过点 的平面截球
所得截面的最小面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，设 外接圆的圆心为 ，则外接圆半径 ，
设三棱锥 的外接球的球心为 ，则外接球的半径 .
取 的中点 ，由 ， ，得 ， .
则过点 的平面截球 所得截面圆的最小半径为 ，
过点 的平面截球 所得截面的最小面积为 .
故选：A
3．（2021·贵州高三月考（理））如图，
E
是正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1棱
DD
1的中点，
F
是棱
B
1
C
1上的动点，现
有下列命题：①存在点
F
使得
CF
⊥
EB
；②存在点
F
使得
D
1
F
//
BE
；③存在点
F
使得△
BEF
的正视图和侧视图
的面积相等；④四面体
EBFC
的体积为定值.其中所有正确命题的序号为（ ）
A．①③④ B．①③ C．③④ D．①②④
【答案】A
【解析】
设正方体 的棱长为 2，以
D
为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直
角坐标系，则 .
设 ，则 .
若 ，则 ，即当
F
为 的中点时， ，故①正确；
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