《【满分冲刺】2022年高考数学必考重点题型技法突破》题型05 平面解析几何题型（定值定点问题、存在性问题、最值取值范围问题）（解析版）

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平面解析几何
目录
一、由题目的已知条件证明问题.........................................................................................................................................1
二、定值、定点问题.............................................................................................................................................................5
三、存在性问题与探索性问题..........................................................................................................................................15
四、最值与取值范围问题..................................................................................................................................................20
常见最值与取值范围的解题技巧......................................................................................................................................20
一、由题目的已知条件证明问题
1、已知斜率为 k的直线 l与椭圆 C：＋＝1交于 A，B两点，线段 AB 的中点为 M(1，m)(m＞0)．
(1)证明：k＜－；
(2)设F为C的右焦点，P为C上的点，且FP＋FA＋FB＝0.证明：|FA|，|FP|，|FB|成等差数列．
【证明】　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.
两式相减，并由＝k得＋·k＝0.
由题设知＝1，＝m，于是 k＝－.
由题设得 0＜m＜，故k＜－.
(2)由题意得 F(1，0)．设 P(x3，y3)，则
(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0，0)．
由(1)及题设得 x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m＜0.又点 P在C上，
所以 m＝，从而 P，|FP|＝.
于是|FA|＝＝＝2－.　
同理|FB|＝2－.
所以|FA|＋|FB|＝4－(x1＋x2)＝3.
故2|FP|＝|FA|＋|FB|，即|FA|，|FP|，|FB|成等差数列．
2、已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)经过点 M，其离心率为，设直线 l：y＝kx＋m与椭圆 C相交于 A，B两点．
(1)求椭圆 C的方程；
(2)已知直线 l与圆 x2＋y2＝相切，求证：OA⊥OB(O为坐标原点)．
解：(1)因为 e＝＝，a2＝b2＋c2，
所以 a2＝2b2，
所以椭圆 C的方程为＋＝1.
因为在椭圆上，
所以＋＝1，b2＝1，a2＝2，
所以椭圆 C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：因为直线 l与圆 x2＋y2＝相切，
所以＝，
即3m2－2k2－2＝0，由
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，
所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝＋＝＝0，
所以 OA⊥OB.
3、设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 .
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： .
解：（1）由已知得 ，l的方程为 x=1.
由已知可得，点 A的坐标为 或 .
所以 AM 的方程为 或 .
（2）当 l与x轴重合时， .
当l与x轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以 .
当l与x轴不重合也不垂直时，设 l的方程为 ， ，
则 ，直线 MA，MB 的斜率之和为 .
由 得
.
将 代入 得
.
所以， .
则.
从而 ，故 MA，MB 的倾斜角互补，所以 .
综上， .
4、已知椭圆 ,直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ， ，
线段 的中点为 ．
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