《【满分冲刺】2022年高考数学必考重点题型技法突破》题型03 立体几何与空间向量题型（空间角度问题、存在性问题及折叠问题）（原卷版）

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立体几何与空间向量

一、异面直线所成角.............................................................................................................................................................1

二、直线与平面所成角.........................................................................................................................................................3

三、二面角问题.....................................................................................................................................................................9

四、存在性问题与折叠问题（综合）..............................................................................................................................17

一、异面直线所成角

注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面

直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．　

1、如图，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.

(1)求证：BD⊥平面 PAC；

(2)若PA＝AB，求 PB 与AC 所成角的余弦值．

2、如图，在三棱锥 PABC 中，PA⊥底面 ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M

是线段 AD 的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.

(1)求证：MN∥平面 BDE；

(2)已知点 H在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为，求线段 AH 的长．

3、如图所示，菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，AC 与BD 相交于点 O，AE⊥平面 ABCD，CF∥AE，AB＝AE

＝2.

(1)求证：BD⊥平面 ACFE；

(2)当直线 FO 与平面 BED 所成的角为 45°时，求异面直线 OF 与BE 所成角的余弦值的大小．

二、直线与平面所成角

利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化

为求两个方向向量的夹角(或其补角)；②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量

所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．

注意夹角的取值范围：若直线 l与平面 α的夹角为 θ，直线 l的方向向量 l与平面 α的法向量 n的夹角为 β，

则θ＝－β或θ＝β－.

1、如图，在几何体 ACD－A1B1C1D1中，四边形 ADD1A1与四边形 CDD1C1均为矩形，平面 ADD1A1⊥平面

CDD1C1，B1A1⊥平面 ADD1A1，AD＝CD＝1，AA1＝A1B1＝2，E为棱 AA1的中点．

(1)证明：B1C1⊥平面 CC1E；

(2)求直线 B1C1与平面 B1CE 所成角的正弦值．

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