《【满分冲刺】2022年高考数学必考重点题型技法突破》题型03 立体几何与空间向量题型（空间角度问题、存在性问题及折叠问题）（解析版）

3.0 envi 2025-03-09 19 4 2.15MB 35 页 3知币

立体几何与空间向量

一、异面直线所成角.............................................................................................................................................................1

二、直线与平面所成角.........................................................................................................................................................4

三、二面角问题..................................................................................................................................................................12

四、存在性问题与折叠问题（综合）..............................................................................................................................23

一、异面直线所成角

注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面

直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．　

1、如图，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.

(1)求证：BD⊥平面 PAC；

(2)若PA＝AB，求 PB 与AC 所成角的余弦值．

【解】　(1)证明：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AC⊥BD.

因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD.

又因为 AC∩PA＝A，所以 BD⊥平面 PAC.

(2)设AC∩BD＝O.

因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，

所以 BO＝1，AO＝CO＝.

如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系 Oxyz，

则P(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)．

所以PB＝(1，，－2)，AC＝(0，2，0)．

设PB 与AC 所成角为 θ，则

cos θ＝＝＝.

即PB 与AC 所成角的余弦值为.

2、如图，在三棱锥 PABC 中，PA⊥底面 ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M

是线段 AD 的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.

(1)求证：MN∥平面 BDE；

(2)已知点 H在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为，求线段 AH 的长．

解：如图，以A为原点，分别以AB，AC，AP的方向为 x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．依

题意可得

A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0)

．

(1)证明：DE＝(0，2，0)，DB＝(2，0，－2)．

设n＝(x，y，z)为平面 BDE 的法向量，

则即

不妨设 z＝1，可取 n＝(1，0，1)．

又MN＝(1，2，－1)，可得MN·n＝0.

因为 MN⊄平面 BDE，

所以 MN∥平面 BDE.

(2)依题意，设AH＝h(0≤h≤4)，则H(0，0，h)，

进而可得NH＝(－1，－2，h)，BE＝(－2，2，2)．

由已知，得|cos〈NH，BE〉|＝

＝＝，

整理得 10h2－21h＋8＝0，解得 h＝或 h＝.

所以，线段 AH 的长为或.

3、如图所示，菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，AC 与BD 相交于点 O，AE⊥平面 ABCD，CF∥AE，AB＝AE

＝2.

(1)求证：BD⊥平面 ACFE；

(2)当直线 FO 与平面 BED 所成的角为 45°时，求异面直线 OF 与BE 所成角的余弦值的大小．

解：(1)证明：因为四边形 ABCD 是菱形，

所以 BD⊥AC.

因为 AE⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，

所以 BD⊥AE.

又因为 AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面 ACFE.

所以 BD⊥平面 ACFE.

(2)以O为原点，OA，OB 所在直线分别为 x轴，y轴，过点 O且平行于 CF 的直线为 z轴(向上为正方

向)，建立空间直角坐标系，

则B(0，，0)，D(0，－，0)，E(1，0，2)，F(－1，0，a)(a＞0)，OF＝(－1，0，a)．

设平面 EBD 的法向量为 n＝(x，y，z)，

则有即

令z＝1，则n＝(－2，0，1)，

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