《【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)》专题09 数列不等式的证明与求解参数(原卷版)
专题 09 数列不等式的证明与求解参数
◆题型一:数列不等式的证明
方法解密:
对于既不含参数也无需放缩的数列不等式,解题思路较为简单.通过数列求和的方法,错位相减或者裂项相
消即可证明.大可分为两种题型,一是数列不等式的证明,二是通过不等式求解 n 的取值范围.下面我们来看
下数列不等式证明的例题.
【经典例题 1】已知等比数列 为递增数列，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 n项和为 ，证明： ．
【经典例题 2】已知正项数列 的前 n项和为 ，且满足 ， ， ，数列 满
足 ．
(1)求出 ， 的通项公式；
(2)设数列 的前 n项和为 ，求证： ．
【经典例题 3】已知数列 前 项和为 ，若 ，且 成等差数列．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)记数列 的前 项和为 ，求证： ．
总结:掌握此题型的关键是对数列求和,错位相减以及裂项相消有较为熟练的掌握与应用.以及要对裂项相消
的常见的变换形式有一定的了解.在稍加练习的情况下即可掌握,难度不大.接下来看下通过不等式求解 n 的
取值范围的相关题型.
【经典例题 4】等差数列 前 n项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前 n项和为 ，若 ，求 n的最小值．
【练习 1】等差数列 中，前三项分别为 ，前 项和为 ，且 .
(1)求 和 的值；
(2)求=
(3)证明:
【练习 2】已知数列{ }的前 项和为 ， ，
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前 项和.证明：
【练习 3】已知数列 的前 n项和为 ，且 ，数列 为等差数列， ，且
．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)对任意的正整数 n，有 ，求证： ．
【练习 4】已知数列 的前 n项和为 ， ， ， .
(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 n项和为 ，证明： .
◆题型二:数列不等式求解参数
方法解密:
对于此类含参数不等式题型,大部分可以通过分离参数等方式转化为最值问题.对于求最值,需要分析单调
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