《【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)》专题09 数列不等式的证明与求解参数(解析版)
专题 09 数列不等式的证明与求解参数
◆题型一:数列不等式的证明
方法解密:
对于既不含参数也无需放缩的数列不等式,解题思路较为简单.通过数列求和的方法,错位相减或者裂项相
消即可证明.大可分为两种题型,一是数列不等式的证明,二是通过不等式求解 n 的取值范围.下面我们来看
下数列不等式证明的例题.
【经典例题 1】已知等比数列 为递增数列，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 n项和为 ，证明： ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】
(1)解：由题意， ，解得 或 ，
因为等比数列 为递增数列，所以 ，
所以 ；
(2)解：由（1）知 ，
所以数列 的前 n项和为 ，①
，②
① ② 得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 .
【经典例题 2】已知正项数列 的前 n项和为 ，且满足 ， ， ，数列 满
足 ．
(1)求出 ， 的通项公式；
(2)设数列 的前 n项和为 ，求证： ．
【答案】(1) ， ； (2)证明见解析
【解析】
(1)由 ，
得 ．又 ，
则数列 是首项为 2，公比为 2的等比数列，
∴，
∴， ，…， ，
累加得 ，
∴．
数列 满足 ，①
当 时， ；
当 时， ，②
由①－②可得 ，
当 时，也符合上式，
故数列 的通项公式为 ．
(2)由（1）可得 ，
则
，
故 成立．
【经典例题 3】已知数列 前 项和为 ，若 ，且 成等差数列．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)记数列 的前 项和为 ，求证： ．
【解析】
(1) ，
因为 成等差数列，所以 ，
所以 ，且 ，
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