《【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)》专题07 数列求和-错位相减、裂项相消(解析版)

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专题 07 数列求和-错位相减、裂项相消

◆错位相减法

错位相减法是求解由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列 (即)的前项和

的方法.这种方法运算量较大,要重视解题过程的训练.在讲等比数列的时候, 我们推导过等比数列的求和公式,

其过程正是利用错位相减的原理, 等比数列的通项其实可以看成等差数列通项与等比数列通

项的积.

公式秒杀:

( 错位相减都可化简为这种形式 , 对于求解参数与, 可以采用将前

项和与前

项

和代入式中 , 建立二元一次方程求解 . 此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据 .)

【经典例题 1】设数列的前 n项和为，若．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前 n项和．

【答案】(1) ； (2) .

【解析】

(1)因为．

所以，解得．

当时，，

所以，所以，即．

因为也满足上式，所以是首项为 1，公比为 2的等比数列，所以．

(2)由（1）知，所以，

所以 …①

…②

①-② 得

，所以．

【经典例题 2】已知等差数列的前 n项和为，数列为等比数列，且，．

(1)求数列，的通项公式；

(2)若，求数列的前 n项和．

【答案】(1) ， (2)

【解析】

(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由题意得：，解得：，

所以，

由得：，所以，

所以

(2) ，

则 ①，

②，

两式相减得：

，

所以

【经典例题 3】已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1) (2)

【解析】

(1)设等比数列的公比为，当时，，所以，，无解．

当时，，所以解得，或，（舍）．

所以．

(2) ．所以 ①，则

②，

①－②得，

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