《【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)》专题06 构造法求数列通项的八种技巧(三)(原卷版)
专题 06 构造法求数列通项的八种技巧(三)
【必备知识点】
◆构造六:取对数构造法
型如 , 或者 为常数.
针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取 为底,什
么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.
【经典例题 1】数列 中, , ,求数列 的通项公式.
【经典例题 2】数列 中, , ,求数列 的通项公式.
【经典例题 3】已知 ,点 在函数 的图像上,其中 ,求数列 的通项
公式.
【经典例题 4】在数列 中, ,当 时,有 ,求数列 的通项公式.
◆构造七:二阶整体构造等比
简单的二阶整体等比:关于 的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为
,利用 成等比数列,以及叠加法求出 .还有一小部分题型可转化
为 ,利用 成等比数列求出 .
【经典例题 1】已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.
【经典例题 2】已知数列 中, , , ,求数列 的通项公式。
【经典例题 3】数列 中, , , ,求数列 的通项公式。
此方法可以解决大多数的 , 模型的试题.当然针对个别试题,单纯构造
成等比数列可能解决不了问题.我们需要学习更完整的方法来解决这种类型题.这就需要运用数
列的特征方程理念来解决.当然我们不需要详细学习数列的特征方程,用高中的待定系数法也可以解决,接
下来我们通过两道例题,来详细解释说明下这种方法.
【经典例题 4】已知数列 满足 , , ,求数列 的通项公式.
【经典例题 5】已知数列 满足 , , ,求 的通项公式.
秒杀求法:
类通项公式暴力秒杀求法
对应的特征方程为: ,设其两根为
当 时,
当 时,
其中 , 的值的求法,用 的值代入上面的通项公式中,建立方程组解之即可
【秒杀例题 1】已知数列 满足 , , ,求 的通项公式.
【秒杀例题 2】已知数列 满足 , , ,求数列 的通项公式.
【练习 1】在数列 中, ,则 _______.
【练习 2】设数列 的前 项和为 .已知 ,且当 时,
.
(1)求 的值；
(2)证明： 为等比数列 ;
(3)求数列 的通项公式.
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