《【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)》专题05 构造法求数列通项的八种技巧(二)(解析版)
专题 05 构造法求数列通项的八种技巧(二)
【必备知识点】
◆构造四:同型构造法
所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同
的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧.
模型一: ,构造 ,则 , 为常数数列.
模型二: ,构造 ,则 , 为常数数列.
模型三: ,构造 ,则 ,
为常数数列.
模型四: ,构造 ,则 , 为等比数列.
模型五: ,构造
,则 , 为等比数列.
模型六: ,构造 ,则 , 为等差数列.
模型七: ,构造 ,则 , 为等差数列.
模型八: ,构造 ,则 , 为等差数列.
看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式
子,尽量将 和 , 和 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.
【经典例题 1】已知数列 满足 ,求 .
【解析】
因为 ,所以 令 ,则 ,即 是常数数列,所以 ,即
.
【经典例题 2】已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式.
【解析】
因为 ,所以 令 ,则 ,
即 是常数数列,所以 因此
【经典例题 3】已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式.
【解析】
,等式两侧同除 ,形成 ,令 ,则 ,这
又回到了构造一的形式,所以 , 是以 2 为首项,2 为公比的等差数列,即
, ,所以 , .
【经典例题 4】已知 ,且 ,求数列 的通项公式.
【解析】
等式两侧同除 ,得 ,即
, ,另 ，
所以 ,接下来就是叠加法发挥作用的时候了
……
叠加得 , ,所以 ，即 ， .
【练习 1】已知数列 满足 ,则
A. 28 B. C. D.
【答案】B
【解析】
数列 满足 ,
,
则: (常数)
则：数列 是以 为首项,3 为公差的等差数列。
所以： ,
所以：
则:
故选：B
【练习 2】已知 是首项为 1 的正项数列,且 ,则它的通项公
式是 ______________.
【解析】
已知等式可转化为 因为 ,所以 ,所以
令 , 则 , 即 是 常 数 数 列 , 所 以 , 即 , 因 此
.
评注:
本题是关于 和 的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到 与 的更为明显
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