《【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)》专题04 构造法求数列通项的八种技巧(一)(原卷版)

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专题 04 构造法求数列通项的八种技巧(一)

【必备知识点】

◆构造一:待定系数之型构造等比数列

求关于 (其中均为常数, )类型的通项公式时,先把原递推公式转化

为 ,再利用待定系数法求出的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类

式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数 ,构造成等比数列.常数的值并不需要背诵,我们可以

通过待定系数法推导出来.

【经典例题 1】已知满足 , 求数列的通项公式.

【经典例题 2】已知数列中, , ,求数列的通项公式.

【经典例题 3】已知数列中, , ,求数列的通项公式.

【练习 1】数列中, ,设其前项和为 ,则

A. B. C. 15 D. 27

【练习 2】已知数列的前项和为 ,若 ,则

A. B. C. D.

【练习 3】在数列中, ,则 _______.

【练习 4】已知数列满足 ,则数列的通项公式 =______.

【练习 5】已知数列的首项 ,且 ,则数列的前 10 项的和为____

__.

【练习 6】已知数列中, ,则 _______.

◆构造二:待定系数之型构造等比数列

求关于类型的通项公式时,与上面讲述的构造一的方法很相

似,只不过等式中多了一项 ,在构造时我们也保持跟题干一样的结构,加一项再构造等比数列就可以,

即令 ,然后与已知递推式各项的系数对应相等,解 ,从而得到

是公比为的等比数列.

【经典例题 1】设数列满足 , ,求数列的通项公式.

【经典例题 2】已知: , 时, ,求的通项公式.

【练习 1】已知数列是首项为 .

(1)求通项公式;

(2) 求数列的前项和 .

【练习 2】已知数列和的前项和 ,对于任意的是二次方程

的两根.

(1)求和通项公式;

(2) 的前项和 .

【练习 3】设数列是首项为 ,满足 .问是否存在 ,使得数列

成等比数列? 若存在,求出的值,若不存在,说明理由;

◆构造三:待定系数之型构造数列

求关于 (其中均为常数, )类型的通项公式时,共有 3 种方法.

方法一:先用待定系数法把原递推公式转化为 ,根据对应项系数相等求出的值,

再利用换元法转化为等比数列求解.

方法二 : 先在递推公式两边同除以 , 得 , 引入辅助数列 ( 其中 ), 得

,再利用待定系数法解决；

方法二:也可以在原递推公式两边同除以 ,得 ,引入辅助数列 (其中

),得 ,再利用叠加法(逐差相加法)求解.

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