《【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)》专题04 构造法求数列通项的八种技巧(一)(解析版)

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专题 04 构造法求数列通项的八种技巧(一)

【必备知识点】

◆构造一:待定系数之型构造等比数列

求关于 (其中均为常数, )类型的通项公式时,先把原递推公式转化

为 ,再利用待定系数法求出的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类

式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数 ,构造成等比数列.常数的值并不需要背诵,我们可以

通过待定系数法推导出来.

【经典例题 1】已知满足 , 求数列的通项公式.

【解析】

根据原式,设 ,整理得 ,题干中 ,根据对应项系数相等得

. ,令 , ,所以是为首项, 为公比的

等比数列.即 , .

【经典例题 2】已知数列中, , ,求数列的通项公式.

【解析】

设 ,整理得 ,题干中 ,根据对应项系数相等,解得 ,故

令 ,则 ,且 .所以是为首项, 为公

比的等比数列.所以 ,即

【经典例题 3】已知数列中, , ,求数列的通项公式.

【解析】

设 ,即 ,题干中 ,根据对应项系数相等,解得 ,故

令 ,则 ,且 .所以是 3 为首项,3 为公

比的等比数列.所以 ,即

【练习 1】数列中, ,设其前项和为 ,则

A. B. C. 15 D. 27

【答案】

【解析】

,可得 ,解得 ,同理可得:

变形为 . 数列为等比数列,首项为 ,公比为 2.

故选: .

【练习 2】已知数列的前项和为 ,若 ,则

A. B. C. D.

【答案】

【解析】

数列的前项和为 , 解得 ,

得 , ,

是以为首项,以为公比的等比数列,

.故选: .

【练习 3】在数列中, ,则 _______.

【答案】47

【解析】

数列中, ,变形为: , , 数列为等比数列,

首项为 3,公比为 2, ,即则 .故答案为:47.

【练习 4】已知数列满足 ,则数列的通项公式 =______.

【答案】

【解析】

是以为首项,2 为公比的等比数列.

,故 .

【练习 5】已知数列的首项 ,且 ,则数列的前 10 项的和为____

__.

【答案】1023

【解析】数列的首项 ,且 ,

则: ,

整理得: (常数) ,

所以：数列是以为首项, 为公比的等比数列,

所以: ,

当时,符合通项.

故： ,

所以:

所以： .

【练习 6】已知数列中, ,则 _______.

【答案】

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