《【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)》专题03 累加法累乘法求数列通项(原卷版)

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专题 03 累加法累乘法求数列通项
【必备知识点】
◆累加法
若数列
{
an
}
满足
an+1−an=f(n) (n∈N¿)
，则称数列
{
an
}
为“变差数列”，求变差数列
{
an
}
的通项时，利
用恒等式
an=a1+(a2−a1)+( a3−a2)+¿⋅¿+( an−an−1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+¿⋅¿+f(n−1)( n≥2)
求
通项公式的方法称为累加法.
具体步骤：
将上述 个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得： =
【经典例题 1】已知数列 满足 ，对任意的 都有 ，则 （）
A．B．C．D．
【经典例题 2】已知数列 满足 ， ，则 （）
A．30 B．31 C．22 D．23
【经典例题 3】已知数列 满足 ， ，则 （）
A．B．C．D．
【练习 1】已知数列{ }满足 ， ，则数列{ }第2022
项为（　　）
A．B．
C．D．
【练习 2】已知数列 满足 则 （）
A．B．C．D．
【练习 3】已知数列 满足 则求 ___________
【练习 4】数列 中， ，则 __________.
【练习 5】已知数列 满足 ，且 ，若 ，n为正整数，则数列 的前 n
项和 __________．
【练习 6】若数列 是等比数列，且 ， ， ，则 ________．
◆累乘法
若数列
{
an
}
满足
an+1
an
=f(n)(n∈N¿)
，则称数列
{
an
}
为“变比数列”，求变比数列
的通项时，利用
an=a1
⋅a2
a1
⋅a3
a2
⋅a4
a3
⋅¿⋅¿an
an−1
=a1
⋅f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅¿⋅¿f(n−1)(n≥2)
求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
将上述 个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
【经典例题 1】已知 ， ，则数列 的通项公式是 （）
A．B．C．D．n
【经典例题 2】若数列 满足 ，则 （）
A．2 B．6 C．12 D．20
【经典例题 3】设 是首项为 的正项数列，且 （ ），则它的通项
公式是 （）
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