《【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)》专题03 累加法累乘法求数列通项(解析版)

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专题 03 累加法累乘法求数列通项
【必备知识点】
◆累加法
若数列
{
an
}
满足
an+1−an=f(n) (n∈N¿)
，则称数列
{
an
}
为“变差数列”，求变差数列
{
an
}
的通项时，利
用恒等式
an=a1+(a2−a1)+( a3−a2)+¿⋅¿+( an−an−1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+¿⋅¿+f(n−1)( n≥2)
求
通项公式的方法称为累加法.
具体步骤：
将上述 个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得： =
【经典例题 1】已知数列 满足 ，对任意的 都有 ，则 （）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由 得： ，
， ， ，…， ，
各式作和得： ，
，.
故选：C.
【经典例题 2】已知数列 满足 ， ，则 （）
A．30 B．31 C．22 D．23
【答案】B
【解析】
因为数列 满足 ， ，
所以 ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
【经典例题 3】已知数列 满足 ， ，则 （）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
∵， ，
∴.
故选：C.
【练习 1】已知数列{ }满足 ， ，则数列{ }第2022
项为（　　）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
解：由 .得 ，
又 ，可得
所以 ， ， ，……，
，将上式相加得
，
故选：A.
【练习 2】已知数列 满足 则 （）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
因为 所以
累加得： ，
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