《【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)》专题02 等比数列必备知识点与考点突破(原卷版)

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专题 02 等比数列必备知识点与考点突破
【必备知识点】
◆ 知识点
1: 等比数列
1.等比数列的概念
一般地,如果一个数列从第 2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列,
这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 表示 .
2.等比数列的判定
(1) (定义法); (2) (中项法)
(3) (通项法)； (4) (和式法).
3.等比数列通项公式
或
例:已知数列 满足 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 是公差为 的等差数列
B．数列 是公差为 2的等差数列
C．数列 是公比为 的等比数列
D．数列 是公比为 2的等比数列
例:已知等比数列{ }中，满足 ， ，则（ ）
A．数列{ }是等比数列 B．数列 是递增数列
C．数列 是等差数列 D．数列{ }中， 仍成等比数列
◆ 知识点
2: 等比数列的性质
设 为等比数列,公比为 ,则
(1)若,则.
(2)若 成等差数列,则 成等比数列.
(3)数列 (为不等于零的常数)仍是公比为 的等比数列;
数列 是公比为 的等比数列;
数列 是公比为|q|的等比数列;
若数列 是公比为 的等比数列,则数列 是公比为 的等比数列.
(4)在数列 中,每隔 项取出一项,按原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为 .
(5)在数列 中,连续相邻 项的和(或积)构成公比为 (或)的等比数列.
(6)若数列 是各项都为正数的等比数列,则数列 且 是公差为 的等差数列.
(7)等比数列 的连续 项的积构成的数列: ,仍为等比数列.
例:在正项等比数列 中， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例:已知等比数列 满足 ， ，则（ ）
A．数列 是等差等列 B．数列 是等差数列
C．数列 是递减数列 D．数列 是递增数列
◆ 知识点
3 : 等 比 数列前
n
项和
1.等比数列前 项和公式
当 时,
当 时,
2.等比数列前 项和公式与指数函数的关系
(1)当 时, 是关于 的正比例函数,点 是直线 上的一群孤立的点.
(2)当 时, .记 ,则 是一个指数式与一个常数
的和.当 且 时,是指数函数,此时,点 是指数型函数 图象上的一群孤立
的点.
如等比数列 的前 项和为 ,点 是函数 图象上的一群孤立的点.
例:已知正项等比数列 首项为 1，且 成等差数列，则 前 6项和为（ ）
A．31 B．C．D．63
例:已知等比数列 的前 n项和 ，则实数 t的值为（ ）
A．4 B．5 C．D．
◆ 知识点
4: 等 比 数列前
n
项和的性质
已知等比数列 的公比为 ,前 项和为 ,则有如下性质:
(1) .
证明:
.
(2)若 均不为 0 ,则 成等比数列,且公比为 .
(3)若 共有 项,则;
若 共有 项,则.
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