《【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)》专题01 等差数列必备知识点与考点突破(解析版)

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专题 01 等差数列必备知识点与考点突破

【必备知识点】

◆ 知识点

1 : 等差数列

1.定义

一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数

列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母表示.

2.等差数列的判定

(1) (定义法); (2) (中项法);

(3) (通项法, 一次函数); (4) (和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点).

3.等差数列通项公式

的几何意义是过两点的直线的斜率.

例:已知数列{an}的前 n项和为 Sn，满足 a1 = 1，－ = 1，则 an =（）

A．2n －1 B．nC．2n － 1 D．2n-1

【答案】A

【解析】

∵a1 = 1，－ = 1，

∴是以 1为首项，以 1为公差的等差数列，

∴，即，

∴当时，，

当时，也适合上式，

所以 .

故选：A.

◆ 知识点

2 : 等差数列的性质

设为等差数列,公差为 ,则

1.若 ,则 .

特别地,(1)若 ,则 ;

2.若 ,则 ;

3.若是有穷等差数列 ,则与首、末两项等距离的两项之和都相等 , 且等于首、末两项之和 ,即

4.数列是常数)是公差为的等差数列.

5.若是公差为的等差数列, 与的项数一致,则数列为常数)是公差为

的等差数列.

6.下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列.

7.在等差数列中,若 ,则有 .

例:已知数列是等差数列，且，则等于（）

A．84 B．72 C．60 D．43

【答案】C

【详解】

∵数列是等差数列，且，

∴ ，∴ ，

∴

故选：C

．

例: 是等差数列，且，，则的值（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】

因为是等差数列，所以，，也成等差数列，

所以．

故选：B．

◆ 知识点

3 : 等差数列前

项和

1.等差数列前 n 项和公式

(1)

(2)

(3) (关于前 n项和的最大值与最小值可选择此二次函数形式)

2.等差数列前 n 项和公式与二次函数的关系

等差数列的前项和 , 令 , 则

(1) 当 (即 )时, 是常数函数, 是各项为 0 的常数列.

(2) 当 (即 )时, 是关于的一次函数, 是各项为非零的常数列.

(3) 当 (即 )时, 是关于的二次函数(常数项为 0).

从上面的分析,我们可以看出:

(1)一个数列是等差数列的条件是其前项和公式是关于的二次函数或一次函数或常数

函数,且为常数).

(2)若一个数列前项和的表达式为为常数),则当时,数列不

是等差数列,但从第 2 项起为等差数列;

(3)由二次函数图象可知,当时( 是递增数列), 有最小值;当时( 是递减数列), 有

最大值.

例:在等差数列中，，前 n项和为，且若对一切正整数 n，均有 µ成立，则正

整数 _____________．

【答案】12 或13

【详解】

等差数列中，，则，

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