2.3 直线的交点坐标与距离公式(精讲)-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)（原卷版）

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2.3 直线的交点坐标与距离公式

一、直线的交点

1、直线的交点与方程的解：

求两直线与的交点坐标，

只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.

若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；

若有，则方程组无解，此时两直线平行；

若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标。

2、判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．

（1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量

的值．

（2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．

（3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．

二、过两条直线交点的直线系方程

一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，

直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．

由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．

经过两直线，交点的直线方程为

，其中是待定系数．

在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．

三、点到点的距离

1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：

【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：

2、三种特殊距离：

（1）原点到任意一点的距离为；

（2）当平行于轴时，；

（3）当平行于轴时， .

四、点到直线的距离

1、定义：点到直线的垂线段的长度.

2、距离公式：点到直线的距离 .

【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式.

（2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离；

（3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点在直线上时，它到直线的距离为 0.

五、平行线间的距离

1、距离公式：两条平行直线，，

它们之间的距离为：

【注意】在使用公式时，两直线方程中和的系数对应相等。

2、两平行线间的距离另外一种解法：

转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），

此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离。

题型一两直线的交点问题

【例 1】（多选）若两条直线与有交点，则该交点坐标就是方程组

的实数解，给出以下三种说法：

①若方程组无解，则两直线平行；

②若方程组只有一解，则两直线相交；

③若方程组有无数多解，则两直线重合．

其中说法正确的有（）

A．① B．② C．③ D．以上都不正确

【变式 1-1】判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：

（1），；

（2），；

（3），．

【变式 1-2】过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（）

A． B． C． D．

【变式 1-3】已知直线，，则过和的交点且与直线垂直

的直线方程为（）

A． B． C． D．

题型二根据交点的情况求参数

【例 2】若直线与直线的交点在直线上，求实数 a的值．

【变式 2-1】设 a为实数，若三条直线，，共有两个不同的

交点，求 a的值.

【变式 2-2】若直线与直线的交点在第四象限，求实数 m

的取值范围．

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