1.2 空间向量基本定理-2022-2023学年高二数学教材同步精品学案（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

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1.2 空间向量基本定理

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1.掌握空间向量基本定理.

2.会用空间向量基本定理对向量进行分解.

3.会用基底法表示空间向量.

4.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想．

知识解读

知识点一　空间向量基本定理

如果三个向量 a，b，c ，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 p＝xa＋

yb＋zc.

我们把{a，b，c}叫做空间的一个

，a，b，c都叫做基向量．

知识点二　空间向量的正交分解

1．单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量，且长度都是，那么这个基底叫做单位正交基底，

常用{i，j，k}表示．

2．向量的正交分解

由空间向量基本定理可知，对空间任一向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk使得 a＝xi＋yj＋zk. 像这

样把一个空间向量分解为三个的向量，叫做把空间向量进行．

知识点三　证明平行、共线、共面问题

(1) 对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数 λ，使 a＝λb.

(2) 如果两个向量 a，b不共线，那么向量 p与向量 a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，

使p＝xa＋yb.

知识点四　求夹角、证明垂直问题

(1)θ为a，b的夹角，则 cos θ＝.

(2)若a，b是非零向量，则 a⊥b⇔a·b＝0.

知识点五　求距离(长度)问题

＝( ＝ )．

跟踪训练

一、单选题

1．已知 O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有

（yyyyyyy）

A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线

C．与共线 D．O，A，B，C四点共面

2．如图，在三棱柱中，E，F分别是 BC，的中点，，则

（yyyyyyy）

A．B．

C．D．

3．已知三棱锥 O—ABC，点 M，N分别为线段 AB，OC 的中点，且，，，用，，

表示，则等于（yyyyyyy）

A．B．C．D．

4．如图，在四面体 OABC 中，，，，点 M在OA 上，且，点 N为BC 的

中点，则（yyyyyyy）．

A．B．

C．D．

5．如图，设，若，则（yyyyyyy）

A．B．

C．D．

6．已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱 BC，PD 上的点，，

，设，，，则向量用为基底表示为（yyyyyyy）

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