[26752051]精讲练04 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（提高）-2020-2021学年九年级数学寒假精讲练专题（沪教版）

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精讲练 04 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（提高）

【学习目标】

1.了解圆心角、圆周角的概念；

2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；

3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两

组量对应相等，及其它们在解题中的应用．

【要点梳理】

要点一、弧、弦、圆心角的关系

1.圆心角定义

　　如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

2.定理：

　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

3.推论：

　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．

　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．

要点诠释：

　　(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.

　　(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.

要点二、圆周角

1.圆周角定义：

　　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB 这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2.圆周角定理：

　　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3.圆周角定理的推论：

　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

要点诠释：

　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.

　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

4.圆内接四边形：

（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．

（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．

5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：

在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相

等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).

*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.

【精练例题】

类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用

1. （厦门校级模拟）如图，∠AOB=90°，CD 是的三等分点，连接 AB 分别交 OC，OD 于点

E，F．

求证：AE=BF=CD．

【思路点拨】连接 AC，BD，根据∠AOB=90°得出∠AOC 的度数，由等腰三角形的性质求出∠OFE 的度数．

根据 SAS 定理得出△ACO≌△DCO，故可得出∠ACO=∠OCD，根据等角对等边可得出 AC=AE，同理可得

BF=BD，由此可得出结论．

【答案与解析】

证明：连接 AC，BD，

∵在⊙O中，半径 OA⊥OB，C、D为弧 AB 的三等分点，

∴∠AOC= ∠AOB= ×90°=30°．

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=45°，

∵∠AOC=∠BOD=30°，

∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠OFE=75°，

∵C，D是的三等分点，

∴AC=CD=BD，

在△ACO 与△DCO 中，

，

∴△ACO≌△DCO（SAS），

∴∠ACO=∠OCD．

∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD= =75°，

∴∠OEF=∠OCD，

∴CD∥AB，

∴∠AEC=∠OCD，

∴∠ACO=∠AEC．

∴AC=AE，

同理，BF=BD．

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