考点5.6 随机变量及其分布（解析版）高考数学新高考下基于问题情境考点探究

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考点 5.6 随机变量及其分布

随机变量及其分布是高考重点考查的内容之一，其命题形式多种多样，其中基于问题情境的随机变量

及其分布问题在高考中频繁出现。通过具体的问题背景或新的定义，考察随机变量及其分布问题在具体情

境中的应用，以此来检验学生的核心价值，学科素养，关键能力，必备知识。本专题以单选题，多选题、

填空题及解答题等形式体现随机变量及其分布问题的实际应用。

解决基于问题情境的随机变量及其分布问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决实际

问题。

基础知识

随机变量及其分布

1、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量 X可能取的值为 x1,x2,..... ,xi ,......,xn

X取每一个值 xi的概率 p1，p2,..... , p i ,......, p n，则称表为离散型随机变量 X 的概率分布，简称分布列

…

… …

分布列性质① pi≥0, i =1，2，… n；② p1 + p2 +…+pn= 1．

2、二点分布：如果随机变量 X的分布列为：

X0 1

P1-p p

其中 0<p<1 则称离散型随机变量 X服从参数 p的二点分布,其中 p为成功概率

3、超几何分布：一般地, 设总数为 N件的两类物品，其中一类有 M件，从所有物品中任取 n(n≤N)件,这n

件中所含这类物品件数 X是一个离散型随机变量，则它取值为 m时的概率为

(

X=m

)

=CM

mCN−M

n−m

（

0≤m≤l

，

为

和

中较小的一个）我们称离散型随机变量

的这种形式的概率分布为超几何分布，

也称

服从参数为

N , M , n

的超几何分布。

4、条件概率：对任意事件 A和事件 B，在已知事件 A发生的条件下事件 B发生的概率，叫做条件概率.记

作P(B|A)，读作 A发生的条件下 B的概率. .

5、相互独立事件：事件 A(或B)是否发生对事件 B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独

立事件。 ,

6、n次独立重复试验：在相同条件下，重复地做 n次试验，各次试验的结果相互独立，一般就称它为 n次

独立重复试验

7、二项分布：设在 n次独立重复试验中某个事件 A发生的次数设为 X．如果在一次试验中某事件发生的

概率是 p，事件 A不发生的概率为 q =1- p ，那么在 n次独立重复试验中，事件 A恰好发生 k次的概率是

（其中 k=0,1, ……,n）

于是可得随机变量 X的分布列如下：

X 0 1 … k…

P… …

这样的离散型随机变量 X服从参数为 n，p二项分布，记作 X～B(n，p) 。

8、数学期望：一般地，若离散型随机变量 X的概率分布为

X x1x2…… xn

P p1p2…… pn

则称为离散型随机变量 X的数学期望或均值（简称为期望）．

E(aX+b)=aE(X)+b

9、方差: 叫随机变量 X

的方差，简称方差。D(aX+b)=a2D(X) 叫做离散型随机变量

的标准差。

10、特殊分布的期望与方差一览：

期望方差

两点分布

二项分布，X～B（n,p）

11、正态分布：

若正态变量概率密度曲线的函数表达式为

),(,

)(





xexf







其中解析式中的实数是参数，且，分别表示总体的期望与标准差．

期望为与标准差为的正态分布通常记作，正态变量概率密度曲线的函数的图象称为正

态曲线。

12、正态曲线基本性质：

（1）曲线在 x轴的上方，并且关于直线 x=对称．

（2）曲线在 x=时处于最高点，并且由此处向左、右两边无限延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，

两边低”的形状．

（3）曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；

越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中．

（1）单选题

1．（2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三其他模拟（理））如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）

上有 7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取 3颗，至

少含有一颗上珠的概率为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】

利用间接法,先找到不含上珠的概率,进而其对立事件概率即为所求

【详解】

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