考点04 相似三角形（原卷版）

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考点四相似三角形

知识点整合

一、比例的相关概念及性质

1．线段的比

两条线段的比是两条线段的长度之比．

2．比例中项

如果=，即 b2=ac，我们就把 b叫做 a，c的比例中项．

3．比例的性质

性质内容

性质 1=⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）．

性质 2如果 = ，那么．

性质 3如果 = =…= （b+d+…+n≠0），则 =（不唯一）．

4.黄金分割

如果点 C把线段 AB 分成两条线段，使，那么点 C叫做线段 AC 的黄金分割

点，AC 是BC 与AB 的比例中项，AC 与AB 的比叫做黄金比．

二、相似三角形的判定及性质

1．定义

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做

相似比．

2．性质

（1）相似三角形的对应角相等；

（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；

（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．

3．判定

（1）有两角对应相等，两三角形相似；学_科网

（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

（3）三边对应成比例，两三角形相似；

（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．

【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：

（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；

（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定

（2）]；

（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；

（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；

（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成

比例．

三、相似多边形

1．定义

对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做

它们的相似比．

2．性质

（1）相似多边形的对应边成比例；

（2）相似多边形的对应角相等；

（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．

四、位似图形

1．定义

如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在

同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫

做位似比．

2．性质

（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为 k，那么位似图

形对应点的坐标的比等于 k或–k；

（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．

3．找位似中心的方法

将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位

似中心．

4．画位似图形的步骤

（1）确定位似中心；

（2）确定原图形的关键点；

（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；

（4）作出原图形中各关键点的对应点；

（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．

考向一　比例线段及其性质

1．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中

间的两项叫做比例的内项．

2．对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段

的比相等，如 a∶b=c∶d（即 ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例

线段．

3．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与

后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果

与所选取的单位无关系．

典例引领

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