考点04 基本不等式-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过

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考点 04 基本不等式
【命题解读】
基本不等式是高考的一个重点，根据近几年的高考分析，基本不等式的考察主要是利
用基本不等式求最值，求未知参数的范围等等，题目难度主要集中在中难度上，基本不等
式牵扯到的知识点比较多，主要集中在导数、数列、三角函数、解析几何等等。
【命题预测】
预计 2021 年的高考对于基本不等式的考察还是和往年一样，变化不是很大，主要集中
在应用上。
【复习建议】
集合复习策略：
1.理解基本不等式以及几个重要的不等式；
2.掌握基本不等式求最值等方面的应用。
考向一　基本不等式
1．基本不等式
√
ab
≤
a+b
2
(1)基本不等式成立的条件: a>0，b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab (a，b∈R).
(2)
b
a
+
a
b
≥2a，b同号).
(3)ab≤
a+b
2
2(a，b∈R).
(4)
a+b
2
2≤
a2+b2
2
(a，b∈R).
1
3.算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则 a，b的算术平均数为
，几何平均数为
√
ab
，基本不等式可叙述为:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
4.利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x=y 时，x+y 有最小值，是 2
√
p
(简记:积定和最小).
(2)如果和 x+y 是定值 p，那么当且仅当 x=y 时，xy 有最大值，是
p2
4
(简记:和定积最大).
1. 若实数 a，b满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】因为 ，则 ，
当且仅当 且 时取等号，即 时取等号，
此时取得最小值 3．
故选：B．
2. 【2020 甘肃省静宁县第一中学高三其他（理）】 若圆 关于直线
对称，则 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
2
【解析】由题意知圆心 在直线 上，则 .又因为 ，
所以 ，当且仅当 时，即 时
取等号，
此时，
故选 C
3. 【2020 河北易县中学高三其他】已知 ， 是函数 的两
个极值点，则 的最小值为（ ）
A．B．9C．5D．
【答案】A
【解析】由题可知 ．
因 ， 为函数 的两个极值点，
所以 ， ，故 ， ，
又 ，则且
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取得最小值 ．
3
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