考点03 一元二次方程应用（原卷版）

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考点三一元二次方程应用

知识点整合

一、利用一元二次方程解决实际问题

列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、

解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．

1．增长率等量关系

（1）增长率=增长量÷基础量．

（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则

；当为平均下降率时，则有．

2．利润等量关系

（1）利润=售价－成本．

（2）利润率= ×100％．

3．面积问题

（1）类型 1：如图 1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，

则阴影部分的面积为．

（2）类型 2：如图 2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白

部分的面积为．

（3）类型 3：如图 3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则 4块

空白部分的面积之和可转化为．

列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系，利用等量关系列出方程．其中

分析实际问题是解决问题的前提和基础，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出

的方程的解是否符合实际问题．

典例引领

1．（2019·湖北中考模拟）某公司今年 1月份的生产成本是 400 万元，由于改进技术，生

产成本逐月下降，3月份的生产成本是 361 万元．假设该公司 2、3、4月每个月生产成本的

下降率都相同．

（1）求每个月生产成本的下降率；

（2）请你预测 4月份该公司的生产成本．

【答案】（1）每个月生产成本的下降率为 5%；（2）预测 4月份该公司的生产成本为

342.95 万元．

【分析】

（1）设每个月生产成本的下降率为 x，根据 2月份、3月份的生产成本，即可得出关于 x

的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

（2）由 4月份该公司的生产成本=3 月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结

论．

【详解】

（1）设每个月生产成本的下降率为 x，

根据题意得：400（1 x﹣ ）2=361，

解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．

答：每个月生产成本的下降率为 5%；

（2）361×（1 5%﹣ ）=342.95（万元），

答：预测 4月份该公司的生产成本为 342.95 万元．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列

出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．

2．（2017·重庆中考模拟）如图，要利用一面墙(墙长为 25 米)建羊圈，用 100 米的围栏围

成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB，BC 各为多少米？

【答案】羊圈的边长 AB，BC 分别是 20 米、20 米.

【解析】

试题分析：设 AB 的长度为 x米，则 BC 的长度为（100 4x﹣）米；然后根据矩形的面积公式

列出方程．

试题解析：设 AB 的长度为 x米，则 BC 的长度为（100 4x﹣）米．根据题意得（100﹣

4x）x=400，

解得 x1=20，x2=5．则 100 4x=20﹣或100 4x=80﹣． ∵80＞25， ∴x2=5 舍去．

即AB=20，BC=20

考点：一元二次方程的应用．

3．（2019·云南中考模拟）一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.

为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过

一段时间销售，发现销售单价每降低 1元，平均每天可多售出 2件.

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