考点03 二次函数应用（原卷版）

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考点三二次函数应用

一、二次函数的综合

1、函数存在性问题

解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达

式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；

最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，

若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．

2、函数动点问题

（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相

似等有关的二次函数综合题．

（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段

运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，

做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．

（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度

是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，

最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．

3、二次函数的实际应用

在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首

先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题

目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数

性质去解决实际问题．

考向一几何应用

典例引领

1．（2020·新疆新市区·九年级二模）如图，以 D为顶点的抛物线 y= x﹣2+bx+c交x轴于

A、B两点，交 y轴于点 C，直线 BC 的表达式为 y= x﹣+3．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在直线 BC 上有一点 P，使 PO+PA 的值最小，求点 P的坐标；

（3）在 x轴上是否存在一点 Q，使得以 A、C、Q为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，

请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y= x﹣2+2x+3；（2）P ( , )；（3）当 Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，

以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD 相似．

【解析】

【分析】

（1）先求得点 B和点 C的坐标，然后将点 B和点 C的坐标代入抛物线的解析式得到关于

b、c的方程，从而可求得 b、c的值；（2）作点 O关于 BC 的对称点 O′，则 O′（3，3），

则OP+AP 的最小值为 AO′的长，然后求得 AO′的解析式，最后可求得点 P的坐标；（3）

先求得点 D的坐标，然后求得 CD、BC、BD 的长，依据勾股定理的逆定理证明△BCD 为

直角三角形，然后分为△AQC∽△DCB 和△ACQ∽△DCB 两种情况求解即可．

【详解】

（1）把 x=0 代入 y= x+3﹣，得：y=3，

∴C（0，3）．

把y=0 代入 y= x+3﹣得：x=3，

∴B（3，0），A（﹣1，0）.

将C（0，3）、B（3，0）代入 y= x﹣2+bx+c 得：，解得 b=2，c=3．

∴抛物线的解析式为 y= x﹣2+2x+3．

（2）如图所示：作点 O关于 BC 的对称点 O′，则 O′（3，3）．

∵O′与O关于 BC 对称，

∴PO=PO′．

∴OP+AP=O′P+AP≤AO′．

∴OP+AP 的最小值=O′A= =5．

O′A 的方程为 y=

P点满足解得：

所以 P ( , )

（3）y= x﹣2+2x+3=﹣（x 1﹣ ）2+4，

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