考点02 与圆有关的位置关系（原卷版）

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考点二与圆有关的位置关系

知识点整合

一、与圆有关的位置关系

1．点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为 d．

(1)d<r⇔点在⊙O内；

(2)d=r⇔点在⊙O上；

(3)d>r⇔点在⊙O外．

判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．

2．直线和圆的位置关系

位置关系相离相切相交

图形

公共点个数 0个1个2个

数量关系 d>r d=r d<r

由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解

的情况．

二、切线的性质与判定

1．切线的性质

（1）切线与圆只有一个公共点．

（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．

（3）切线垂直于经过切点的半径．

利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．

2．切线的判定

（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．

（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．

（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

切线判定常用的证明方法：

①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；

②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．

三、三角形与圆

1．三角形的外接圆相关概念

经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三

角形叫做圆的内接三角形．

外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．

2．三角形的内切圆

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个

三角形叫做圆的外切三角形．

内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．

考向一点、直线与圆的位置关系以及切线的性质与判定

1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．

2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．

3 . 圆与圆的位置关系：相离、外切、相交、内切、包含

4 . 有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．

典例引领

1．（2019·浙江省锦绣江山外国语学校九年级期中）一个点到圆的最小距离为 4cm，最大

距离为 9cm，则该圆的半径是（）

A．2.5 cm 或6.5 cm

B．2.5 cm

C．6.5 cm

D．5 cm 或13cm

【答案】A

【分析】

点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点 P在圆内时，点到圆的最大距离与

最小距离的和是直径；当点 P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此

得解．

【详解】

解：当点 P在圆内时，最近点的距离为 4cm，最远点的距离为 9cm，则直径是 13cm，因而

半径是 6.5cm；

当点 P在圆外时，最近点的距离为 4cm，最远点的距离为 9cm，则直径是 5cm，因而半径

是2.5cm．

故选 A．

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．

2．（2020·陕西九年级专题练习）平面内，⊙O的半径为 1，点 P到O的距离为 2，过点 P

可作⊙O的切线条数为（）

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