考点02 一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系（原卷版）

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考点二一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系

知识点整合

一、一元二次方程根的判别式及根与系数关系

1．根的判别式

一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们

把叫做一元二次方程根的判别式．

2．一元二次方程根的情况与判别式的关系

（1）当时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当时，方程有 1个（两个相等的）实数根；

（3）当时，方程没有实数根．

3．根与系数关系

对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，

，则，．

典例引领

1．（2018·山东中考模拟）已知关于 x的方程 x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求 k的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且 k＝2，求该矩形的对角线 L的长．

【答案】（1）k＞；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据关于 x的方程 x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解

不等式即可；

（2）当 k=2 时，原方程 x2-5x+5=0，设方程的两根是 m、n，则矩形两邻边的长是 m、n，

利用根与系数的关系得出 m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为，利用完全平方

公式进行变形即可求得答案.

【详解】

解：（1）∵方程 x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0，

∴k＞；

(2)当k＝2时，原方程为 x2－5x＋5＝0，

设方程的两个根为 m，n，

∴m＋n＝5，mn＝5，

∴矩形的对角线长为： .

【点睛】

本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别

式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 时，方程有两个相等

的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．

2．（2020·全国八年级课时练习）关于 x的一元二次方程 ax2+bx+1=0．

（1）当 b=a+2 时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 a，b的值，并求此时方程的根．

【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1 时，x1=x2=﹣1．

【详解】

分析：（1）求出根的判别式，判断其范围，即可判断方程根的情况.

（2）方程有两个相等的实数根，则，写出一组满足条件的，的值即

可.

详解：（1）解：由题意：．

∵ ，

∴原方程有两个不相等的实数根．

（2）答案不唯一，满足（）即可，例如：

解：令，，则原方程为，

解得：．

点睛：考查一元二次方程根的判别式，

当时，方程有两个不相等的实数根.

当时，方程有两个相等的实数根.

当时，方程没有实数根.

3．（2018·湖北全国·中考模拟）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其

中 k 为常数）.

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