考点02 一次函数应用（解析版）

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考点二一次函数应用

知识点整合

一、一次函数的实际应用

1．主要题型：

（1）求相应的一次函数表达式；

（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．

2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：

（1）设定实际问题中的自变量与因变量；

（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；

（3）确定自变量的取值范围；

（4）利用函数性质解决问题；

（5）检验所求解是否符合实际意义；

（6）答．

3．方案最值问题：

对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过

列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确

定出有多少种方案．

4．方法技巧

求最值的本质为求最优方案，解法有两种：

（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；

（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性

可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的

取值，再进行比较．显然，第（2）种方法更简单快捷．

考向一一次函数的应用

一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为

射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的

取值范围确定最值．

典例引领

1．学校需要添置教师办公桌椅 A、B两型共 200 套，已知 2套A型桌椅和 1套B型桌椅共

需2000 元，1套A型桌椅和 3套B型桌椅共需 3000 元．

（1）求 A，B两型桌椅的单价；

（2）若需要 A型桌椅不少于 120 套，B型桌椅不少于 70 套，平均每套桌椅需要运费 10 元．

设购买 A型桌椅 x套时，总费用为 y元，求 y与x的函数关系式，并直接写出 x的取值范

围；

（3）求出总费用最少的购置方案．

【答案】（1）A，B两型桌椅的单价分别为 600 元，800 元；（2）y=﹣

200x+162000（120≤x≤130）；（3）购买 A型桌椅 130 套，购买 B型桌椅 70 套，总费用最

少，最少费用为 136000 元．

【分析】

（1）根据“2 套A型桌椅和 1套B型桌椅共需 2000 元，1套A型桌椅和 3套B型桌椅共需

3000 元”，建立方程组即可得出结论；

（2）根据题意建立函数关系式，由 A型桌椅不少于 120 套，B型桌椅不少于 70 套，确定

出x的范围；

（3）根据一次函数的性质，即可得出结论．

【详解】

（1）设 A型桌椅的单价为 a元，B型桌椅的单价为 b元，

根据题意知，，

解得，，

即：A，B两型桌椅的单价分别为 600 元，800 元；

（2）根据题意知，y=600x+800（200 x﹣ ）+200×10= 200x+162000﹣ （120≤x≤130），

（3）由（2）知，y= 200x+162000﹣ （120≤x≤130），

∴当 x=130 时，总费用最少，

即：购买 A型桌椅 130 套，购买 B型桌椅 70 套，总费用最少，最少费用为 136000 元．

【点睛】

本题考查一次函数的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，

列出方程组或不等式是解本题的关键．

2．某游泳馆普通票价 20 元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：

①金卡售价 600 元/张，每次凭卡不再收费．

②银卡售价 150 元/张，每次凭卡另收 10 元．

暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳 x次时，所需总费用

为y元．

（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；

（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点 A、B、C的

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