考点02 函数的概念及表示（原卷版）

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考点二函数的概念及表示

知识点整合

1．函数

（1）常量和变量

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．

【注意】①变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提

条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变．

例如，在 s=t中，当 s一定时，v、t为变量，s为常量；当 t一定时，s、v为变量，而 t

为常量．

“②常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母

就是变量，如在一个匀速运动中的速度 v就是一个常量．

③变量、常量与字母的指数没有关系，如 S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”．

④判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化．

（2）函数的定义

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x与y，并且对于 x的每一个确定的值，y

都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x是自变量，y是x的函数．

例如：在 s=60t中，有两个变量；s与t，当 t变化时，s也随之发生变化，并且对于 t在

其取值范围内的每一个值，s都有唯一确定的值与之对应，我们就称 t是自变量，s是t

的函数．

对函数定义的理解，主要抓住以下三点：

①有两个变量．

②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特

殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．

③函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定

的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量 x的不同取值，y的值可以相同，如：

函数 y=x2，当 x=1 和x=-1时，y的对应值都是 1．

④在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定

性的另一个变量即为该自变量的函数.

（3）函数取值范围的确定

使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围，函数自变量的取值范围的

确定必须考虑两个方面：①不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法；②当

用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须

使实际问题有意义．

（4）函数解析式及函数值

函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常

用方法，这种式子叫做函数的解析式．

①函数解析式是等式．

②函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量

是自变量，等式左边的变量表示函数．

③书写函数的解析式是有顺序的．y=2x-1表示 y是x的函数，若 x=2y-1，则表示 x是y

的函数，即求 y关于 x的函数解析式时，必须用含 x的代数式表示 y，也就是等式左边

是一个变量 y，右边是一个含 x的

代数式．

④用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．

函数值：对于自变量 x在取值范围内的某个确定的值 a，函数 y所对应的值为 b，即当

x=a，y=b时，b叫做自变量 x的值为 a时的函数值．

（5）函数的图象及其画法

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，

那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

画函数的图象，可以运用描点法，其一般步骤如下：

①列表：表中列举一些自变量的值及其对应的函数值，自变量的取值不应使函数值太

大或太小，以便于描点，点数一般以 5到7个为宜．

②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表

格中数值对应的各点．描点时，要注意横、纵坐标的符号与点所在的象限（或坐标轴）

之间的关系，描出的点大小要适中，位置要准确．

③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．

（6）函数的表示方法

函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法，表示函数关系时，要根据具

体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．

考向一函数的概念

典例引领

1．（2020·陕西高新一中八年级期中）下列各图象中，不表示是的函数的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】

根据函数的定义可知：对于 x的任何值y都有唯一的值与之相对应．紧扣概念，分析图象．

【详解】

由函数的定义可知，选项A、B、D中的函数图象符合函数的定义，选项C中的图象，y与

x不是一一对应的，不符合函数的定义，

故选：C．

【点睛】

本题考查函数的图象、函数的概念，解答本题的关键是明确函数的定义，利用数形结合的

思想解答．

2．（2020·桐城市第二中学八年级期中）下列各曲线中不能表示 y是x的函数是（）

A．B．C．D．

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