考点02 二次函数与方程不等式之间的关系（解析版）

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考点二二次函数与方程不等式之间的关系

知识点拓展

一、二次函数与一元二次方程的关系

1．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），当 y=0 时，就变成了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）．

2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x轴交点的横坐标．

3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与 x轴有两个交点；

（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与 x轴有且只有一个交点；

（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与 x轴没有交点．

考向一　二次函数与一元二次方程、不等式的综合

抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由 Δ=b2–4ac

决定.

1．当 Δ>0，即抛物线与 x轴有两个交点时，方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，这两

个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．

2．当 Δ=0，即抛物线与 x轴有一个交点（即顶点）时，方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实数

根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．

3．当 Δ<0，即抛物线与 x轴无交点时，方程 ax2+bx+c=0 无实数根，此时抛物线在 x轴的上

方（a>0 时）或在 x轴的下方（a<0 时）．

典例引领

1．（2019·河南九年级专题练习）已知二次函数（为常数）.

（1）求证：不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点；

（2）当取什么值时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方？

【答案】（1）证明见解析；（2）时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方.

【解析】

分析：（1）首先求出与 x轴交点的横坐标， ,即可得出答案;

(2)求出二次函数与 y轴的交点纵坐标.根据交点纵坐标大于 0即可求出.

详解：

（1）证明：当时， .

解得， .

当，即时，方程有两个相等的实数根；当，即时，方程

有两个不相等的实数根.

所以，不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点.

（2）解：当时，，即该函数的图像与轴交点的纵坐标是 .

当，即时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方.

点睛：本题考查了抛物线与 x轴的交点坐标,熟练掌握抛物线与 x轴的交点的证明方法，求

出抛物线与 y轴交点的纵坐标是解决问题（2）的关键.

2．（2020·全国九年级课时练习）已知二次函数的图象以 A（﹣1，4）为顶点，且过点

B（2，﹣5）

（1）求该函数的关系式；

（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；

（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至 A′、B′，求△O

A′B′的面积．

【答案】（1）y= x﹣22x+3﹣ ；（2）抛物线与 y轴的交点为：（0，3）；与 x轴的交点为：

（﹣3，0），（1，0）；（3）15.

【解析】

【分析】

（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将 B点坐标代

入，即可求出二次函数的解析式；

（2）根据函数解析式，令 x=0，可求得抛物线与 y轴的交点坐标；令 y=0，可求得抛物线

与x轴交点坐标；

（3）由（2）可知：抛物线与 x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与 x轴负

半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出 A′、B′的坐标．由于△OA′B′不

规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．

【详解】

解：（1）设抛物线顶点式 y=a（x+1）2+4，

将B（2，﹣5）代入得：a= 1﹣ ，

∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4= x﹣22x+3﹣ ；

（2）令 x=0，得 y=3，因此抛物线与 y轴的交点为：（0，3），

令y=0，﹣x22x+3=0﹣，解得：x1= 3﹣ ，x2=1，

即抛物线与 x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；

（3）设抛物线与 x轴的交点为 M、N（M在N的左侧），

由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），

当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了 3个单位，

故A'（2，4），B'（5，﹣5），

∴S△OA′B′= ×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．

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