考点02 等腰三角形与直角三角形（原卷版）

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考点二等腰三角形与直角三角形

知识点整合

一、等腰三角形

1．等腰三角形的性质

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．

推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、

底边上的中线、底边上的高重合．

推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60°．

2．等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等

边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．

推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形．

推论 2：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．

推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一

半．

二、等边三角形

1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．

2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60°．

3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三

角形．

三、直角三角形与勾股定理

1．直角三角形

定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．

性质：（1）直角三角形两锐角互余；

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；

（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

2．勾股定理及逆定理

（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边 a、b的平方和等于斜边 c的平方，即：

a2+b2=c2．

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边 a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三

角形是直角三角形．

考向一等腰三角形的性质判定

1．等腰三角形是轴对称图形，它有 1条或 3条对称轴．

2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45°．学-科网

3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．

4．等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b，则

<a．

5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-

2∠B，∠B=∠C=

180 °−∠A

．

6．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系

转化为边的相等关系的重要依据．

7．底角为顶角的 2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰

三角形．

典例引领

1．（2020·全国八年级课时练习）如图，在△ABC 中，AB=20cm，AC=12cm，点 P从点 B

出发以每秒 3cm 速度向点 A运动，点 Q从点 A同时出发以每秒 2cm 速度向点 C运动，其

中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ 是以 PQ 为底的等腰三角形时，

运动的时间是( )秒

A．2.5 B．3C．3.5 D．4

【答案】D

【详解】

解：设运动的时间为 x，

在△ABC 中，AB=20cm，AC=12cm，

点P从点 B出发以每秒 3cm 的速度向点 A运动，点 Q从点 A同时出发以每秒 2cm 的速度向

点C运动，

当△APQ 是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20 3﹣x，AQ=2x，即20 3﹣x=2x，

解得 x=4．

故选 D．

【点睛】

此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一

定的拔高难度，属于中档题．

2．（2019·山西九年级专题练习）如图，AD，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若

AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE 的度数是（　　）

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