考点01 圆的基本性质（原卷版）

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考点一圆的基本性质

一、圆的有关概念

1．与圆有关的概念和性质

（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．

（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内

最长的弦．

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做

优弧．

（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．

（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．

（6）弦心距：圆心到弦的距离．

2．注意

（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；

（2）3点确定一个圆，经过 1点或 2点的圆有无数个．

（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．

二、垂径定理及其推论

1．垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作

弦的垂线，构造直角三角形．

2．推论

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

三、圆心角、弧、弦的关系

1．定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的

等量关系必须在同圆等式中才成立．

2．推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应

的其余各组量都分别相等．

四、圆周角定理及其推论

1．定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

2．推论

（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

（2）直径所对的圆周角是直角．

圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比

如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，

通过两锐角互余进行转化等．

考向一圆的基本认识

1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．

2．直径是弦，但弦不一定是直径．

3．在同一个圆中，直径是最长的弦．

4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为 180°，劣弧的度

数小于 180°，优弧的度数大于 180°．

5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．

典例引领

1．（2020·山东单县·七年级期末）已知是半径为 5的圆的一条弦，则的长不可能

是（）

A．4B．8C．10 D．12

【答案】D

【分析】

根据圆中最长的弦为直径求解．

【详解】

因为圆中最长的弦为直径，所以弦长 L≤10．

故选:D．

【点睛】

考查圆的性质，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键.

2．（2020·山东广饶县·九年级期中）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的

两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的

说法有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【分析】

利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．

【详解】

① 直径是弦，正确，符合题意；

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