考点01 反比例函数的图象和性质（解析版）

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考点一反比例函数的图像和性质

知识点整合

一、反比例函数的概念

1．反比例函数的概念

一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以

写成的形式．自变量 x的取值范围是 x≠0 的一切实数，函数的取值范围也是

一切非零实数．

2．反比例函数（k是常数，k

0）中 x，y的取值范围

反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量 x的取值范围是不等于 0的任意实数，

函数值 y的取值范围也是非零实数．

二、反比例函数的图象和性质

1．反比例函数的图象与性质

（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、

三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量 x≠0，函数 y≠0，所以，它的图象

与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．

（2）性质：当 k>0 时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y

随x的增大而减小．

当k<0 时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内， y随x的增大而

增大．

表达式（k是常数，k≠0）

k k>0 k<0

大致图象

所在象限第一、三象限第二、四象限

增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大

2．反比例函数图象的对称性

反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线 y=x和y=-x，

对称中心为原点．

3．注意

（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平

滑的曲线连接各点．

（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例

函数中 x≠0 且y≠0．

（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自

象限内的增减情况．当 k>0 时，在每一象限（第一、三象限）内 y随x的增大而减小，

但不能笼统地说当 k>0 时，y随x的增大而减小．同样，当 k<0 时，也不能笼统地说 y

随x的增大而增大．

三、反比例函数解析式的确定

1．待定系数法

确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，

因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 k的值，从而确定其解析式．

2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤

（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；

（2）把已知一对 x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数 k的方程；

（3）解这个方程求出待定系数 k；

（4）将所求得的待定系数 k的值代回所设的函数解析式．

四、反比例函数中|k|的几何意义

1．反比例函数图象中有关图形的面积

2．涉及三角形的面积型

当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．

（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；

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