精做02 数列（原卷版）-备战2021年高考数学（文）大题精做
精做 02 数列
一、等差数列与等比数列
(一)利用方程思想求等差数列与等比数列的通项公式
【例 1】（2021·贵溪市实验中学高三一模）在等差数列 中，已知 ， ，求 .
【详解】
设等差数列的公差是 ，首项是 ，
所以 ，解得 ， ，
所以 .
给出数列是等差(比)数列求通项一般是利用方程思想把问题转化为关于 a1和d(q)的方程组,通过解方程求 a1
和d(q),再利用等差(比)数列的通项公式求通项.
【对点训练 1】（2021·宁夏长庆高级中学高三月考（理）） 为等差数列 的前 项和，已知 ，
.
1
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值.
(二)等差数列与等比数列的判断与证明
【例 2】（2021·安徽高三一模（理））已知 Sn为数列{an}的前 n项和，a1=1，Sn=an+1-1.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足 2bn+1+Sn+1=2bn+2an，证明数列{an+bn}为等差数列，并求其公差.
【详解】
（1）当 时，由 Sn=an+1-1，得 ，
两式相减得 即
又因为
所以 .
综上 是以 1为首项，2为公比的等比数列，
所以 .
（2）由 Sn=an+1-1，得 ，
又2bn+1+Sn+1=2bn+2an，
2
所以
即 ，
所以 是以 为公差的等差数列.
(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法
① 利用定义,证明 an＋1－an(n∈N*)为一常数；
② 利用等差中项,即证明 2an＝an－1＋an＋1(n≥2,n∈N*)．
(2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法
① 利用定义,证明(n∈N*)为一常数；
② 利用等比中项,即证明 a＝an－1an＋1(n≥2,n∈N*)．
【对点训练 2】（2021·浙江高三月考）已知数列 满足： ， .
（Ⅰ）证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记 ，求使 成立的最大正整数 n的值.（其中，
符号 表示不超过 x的最大整数）
3
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