广东省深圳实验承翰学校2020—2021学年高一下学期期中考试数学试卷

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深圳实验承翰学校 2020—2021 学年高一下学期期中考试
数学试题
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知复数 z＝(1 i)(1 2i)﹣ ﹣ ，其中 i是虚数单位，则 z的虛部为
A．﹣3 B．3 C．﹣3i D．3i
2．已知向量 ＝(1，2)， ＝( 4﹣ ，m)，若 与 垂直，则实数 m＝
A．2 B．﹣2 C．﹣8 D．8
3．下列条件中,能使直线 m⊥平面 α 的是
(A)m⊥b,m⊥c,b⊥α,c⊥α (B)m⊥b,b∥α
(C)m∩b=A,b⊥α (D)m∥b,b⊥α
4．已知△ABC 的内角 A，B，C所对的边长分别是 a，b，c，设向量 ＝(a＋b，sinC)，
＝(，sinB sinA)﹣ ，若 ∥ ，则角 B的大小为
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．如图，已知 ，用 ， 表示 ，则 等于
A． B． C． D．
6.已知 m,n 是两条直线,α,β 是两个平面.有以下命题:
①m,n 相交且都在平面 α,β 外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则 α∥β;② 若 m∥α,m∥β,
则 α∥β;③ 若 m∥α,n∥β,m∥n,则 α∥β.其中正确命题的个数是
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
7．在
ABC
中，
2
sin 2 2
C a b
a
，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，则
ABC
的形状为
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
8．已知向量 ＝(cos20°，cos70°)， ＝(sin10°，sin80°)，若 t是实数，且 ，则
1
的最小值为
A． B．1 C． D．
二、多项选择题（本大题共 4小题，每小题 5分，‘共计 20 分．在每小题给出的四个选项
中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．已知复数 z在复平面上对应的点为 Z(3，﹣1)，i为虚数单位，则下列正确的是
A．z＝﹣1＋3i B． ＝10 C． ＝3＋i D．z＋i是实数
10．已知 m，n是实数， ， ， 为向量，则下列运算中正确的有
A． B．若 ，则
C． D．
11．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，
分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五
“三斜求积”中提出了已知三角形三边 a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完
全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幕减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜
幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即
．现有△ABC 满足 sinA：sinB：sinC＝2：3： ，且△ABC
的面积 SABC△＝ ，请运用上述公式判断下列命题正确的是(　ABD　)
A．△ABC 周长为 5＋ B．△ABC 三个内角 A，C，B满足关系 A＋B＝2C
C
．△ABC 外接圆半径为
D．△ABC 中线 CD 的长为
三、填空题（本大题共 4小题，‘每小题 5分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位
置上）
13．若复数 ，i为虚数单位，则 ＝ ．
14 ． 若 平 面 向量 ， 满 足 ， ， 且 ， 则 与 夹 角 的 大小 为
2
．
15．中华人民共和国国歌有 84 个字，37 小节，奏唱需要 46 秒，某校周一举行升旗仪式，
旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得
旗杆顶部的仰角分别为 60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），
旗杆底部与第一排在同一个水平面上，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗
手升旗的速度应为 米/秒．
四、解答题（本大题共 6小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
已知复数 ＝a＋3i， ＝2﹣ai（aR，i是虛数单位）．
（1）若 在复平面内对应的点落在第一象限，求实数 a的取值范围；
（2）若虚数 是实系数一元二次方程x26﹣x＋m＝0的根，求实数 m的值．
18 ． （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 阅 读 一 下 一 段 文 字 ： ，
，两式相减得：
，我们把这个等式称作 “ 极化恒等
式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据
上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC 中，D是BC 的中点，E，F是AD 上的两个三
等分点．
（1）若 AD＝6，BC＝4，求 的值 ；
（2）若 ＝4， ＝﹣1，求 的值．
3
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