高中数学专题21 期中复习（解析版）

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专题 21 期中复习
知识梳理
一、集合与命题
1．区分集合中元素的形式：
函数的定义域 函数的值域 函数图象上的点集
2．研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性．
3．集合的性质：① 任何一个集合
P
都是它本身的子集，记为
P⊆P
．
② 空集是任何集合
P
的子集，记为
∅⊆P
．
③ 空集是任何非空集合
P
的真子集，记为 ．
注意：若条件为
A⊆B
，在讨论的时候不要遗忘了
A=∅
的情况．
集合的运算：④
、
(
A∪B
)
∪C=A∪
(
B∪C
)
；
、 ．
⑤ ．
⑥ 对于含有
n
个元素的有限集合
M
，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数
1
依次为：
2n
、
2n−1
、
2n−1
、
2n−2
．
4．命题是表达判断的语句．判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题．
① 命题的四种形式及其内在联系：
原命题：如果
α
，那么
β
；
逆命题：如果
β
，那么
α
；
否命题：如果
α
，那么
β
；
逆否命题：如果
β
，那么
α
；
② 等价命题：对于甲、乙两个命题，如果从命题甲可以推出命题乙，同时从命题乙也可以推出命题甲，既
“甲 乙”，那么这样的两个命题叫做等价命题．
③ 互为逆否命题一定是等价命题，但等价命题不一定是互为逆否命题．
④ 当某个命题直接考虑有困难时，可通过它的逆否命题来考虑．
5．常见结论的否定形式：
原结论 是 都是 一定
p
或
q
p
且
q
大于 小于
否定形式 不是 不都是 不一定
p
且
q
p
或
q
不大于 不小于
原结论 至少一个 至多一个 至少
n
个 至多
n
个对 所 有
x
都成立
对 任 何
x
不成立
否定形式
一个也
没有
至少两个 至 多
n+1
个
至 少
n+1
个
存 在 某
x
不成立
存 在 某
x
成立
6．充要条件：
条件 结论 推导关系 判断结果
原命题 逆命题
否命题 逆否命题
互为 逆否
互 逆
互 逆
互 否 互 否
2
α⇒β
α
是
β
的充分条件
β⇒α
α
是
β
的必要条件
α⇒β
且
β⇒α
α
是
β
的充要条件
在判断“充要条件”的过程中，应注意步骤性：
首先必须区分谁是条件、谁是结论，然后由推导关系判断结果．
二、不等式
1．基本性质：（注意：不等式的运算强调加法运算与乘法运算）
①
a>b
且
b>c
⇒
a>c
；
② 推论：ⅰ． ； ⅱ．
a>b
且
c>d
⇒
a+c>b+d
；
③ ；
④ 推论：ⅰ． ； ⅱ．
a>b
且
a
、
b
同号 ；
ⅱ．
a>0>b
； ⅲ． ；
⑤
a>b>0
，
m>0
⇒
b
a<b+m
a+m
；
⑥
a−b
{
>0
¿0
¿0
⇔
a
{
>b
¿b
¿b
；
2．解不等式：（解集必须写成集合或区间的形式）
3
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