高中数学专题20 反函数（原卷版）

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专题 20 反函数

（反函数的概念，反函数的图像）

知识梳理

反函数

1、反函数定义

一般地，对于函数 y=f(x)，设它的定义域为 D，值域为 A，如果对 A中任意一个值 y，在 D中总有唯

一确定的 x值与它对应，使 y=f(x),这样得到的 x= 。在习惯上，自变量用 x表示，而函数用 y表示，

所以把它改写为

2、关于反函数的结论

（1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域，

（2）互为反函数的两个函数 y=f(x)与图像关于直线 y=x 对称；若点 M（a，b）在 y=f(x)

的图像上，则点 (b,a)必在图像上；

（3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c, 除外，其中 c为常数)，奇函数不一定有反函数，若有

反函数，则反函数也是奇函数；

（4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的

函数不一定是单调的，比如；

（5）y=f(x)与互为反函数，设 f(x)定义域为 D，值域为 A，则有 f[ ]=x ,

;

（6）如果函数 y=f(x)的图像关于直线 y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身；

（7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应；

（8）x=f(y), , 与函数 y=f(x)的比较；

（9）y=f(x)与图像若有公共点，并非一定在 y=x 上，例如：f(x)= 与

有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于 y=x 对称

3、求反函数的步骤

（1）求反函数 y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)；

（2）反解：由 y=(x)解出；

（3）改写：在中，将 x,y 互换得到；

（4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。

一、反函数的概念与存在条件

【例 1】

√

2x−x2 (1≤x≤2)

反函数是（）

函数自变量图像

x=f(y) y是自变量与 y=f(x)的图像关于 y=x 对称

y是自变量和 y=f(x)的图像相同

x是自变量和 y=f(x)的图像关于直线 y=x 对称

y=1+

√

1−x2 (−1≤x≤1)

y=1+

√

1−x2 (0≤x≤1)

y=1−

√

1−x2 (−1≤x≤1)

y=1−

√

1−x2 (0≤x≤1)

【例 2】以下函数中，不存在反函数的序号是___________．

① ； ② ； ③ ； ④

．

【例 3】已知函数的图像关于直线

y=x

对称，求实数

的值.

【例 4】若函数存在反函数，则方程 ( )

.有且只有一个实根； .至少有一个实根；

.至多有一个实根； .没有实根.

【例 5】若函数的图像经过点，则函数的反函数图像必经过_____.

【例 6】函数 f(x)= -2ax-3 在区间上存在反函数的重要条件是（）

A、 B、

C、 D、

【例 7】若函数 y=f(x)存在反函数，则下列命题不正确的是（）

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