高中数学专题19函数的应用（2）解析版

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专题 19 函数的应用（2）

知识梳理

一：解答应用问题的基本思想和步骤

1.解应用题的基本思想

2.解答函数应用题的基本步骤

求解函数应用题时一般按以下几步进行：

第一步：审题

弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.

第二步：建模

在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然

后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.

第三步：求模

运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.

第四步：还原

把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实

际背景.

上述四步可概括为以下流程：

实际问题(文字语言)数学问题(数量关系与函数模型)建模(数学语言)求模(求解数学问题)反

馈(还原成实际问题的解答).

二：解答函数应用题应注意的问题

首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往

往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟

其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体

思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.

其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函

数关系.

其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题

一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地

相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数

量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”

即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一

遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.

例题解析

一、已建立函数模型的应用题

例1. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需增加投入100 元，已知总收

益满足函数：

，其中 x是仪器的月产量。

（1）将利润表示为月产量的函数 f (x)。

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）

【思路点拨】这里已有函数模型，只需对分段讨论，写出利润的表达式即可

【答案】（1）；

(2) 每月生产 300 台仪器时，利润最大。最大利润为25000 元。

【解析】（1）设每月产量为 x台，则总成本为 20000+100x，

从而。

（2）当0≤x≤400 时，

，

∴当 x=300 时，有最大值 25000；

当x＞400 时，f (x)=60000－100x 是减函数，

f (x)＜60000－100×400＜25000。

∴当 x=300 时，f (x)的最大值为25000。

∴每月生产 300 台仪器时，利润最大。

最大利润为25000 元。

【总结升华】由题目可获取以下主要信息：①总成本=固定成本+100x；②收益函数为一分段函数。

解答本题可由已知总收益=总成本+利润，利润=总收益－总成本。由于R (x)为分段函数，所以 f (x)也要分段

求出，将问题转化为分段函数求最值问题。分段函数的性质应分段研究，分段函数的最大值是各段函数值

的最大者。分段函数应用题是高考命题的热点。

举一反三：

【变式 1】设在海拔 x m 处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y=cekx，其中 c，k为常量，

已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105 Pa，1000 m 高空的大气压为0.90×105 Pa，求 600 m 高空的大气

压强（结果保留 3位有效数字）。

【答案】0.943×105.

【解析】这里已有函数模型，要求待定系数 c、k，由x=0 时y=1.01×105 Pa 和x=1000 m 时y=0.90×105

Pa 可求。

将x=0，y=1.01×105，x=1000，y=0.90×105分别代入函数关系式y=cekx 中，得

，∴ 。

将c=1.01×105代入 0.90×105=ce1000k 中得 0.90×105=1.01×105e1000k，

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